\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill PERES RAMALHO Emeric}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 10}{5} - \dfrac{- 5}{5}$
            \item $B = \dfrac{5}{3} - \dfrac{- 10}{6}$

            \item $C = \dfrac{- 2}{8} + \dfrac{1}{7}$
            \item $D = \dfrac{5}{10} - 1$

            \item $E = \dfrac{9}{9} \times \dfrac{10}{8}$
            \item $F = \dfrac{- 7}{7} \times 6$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{5} - \dfrac{- 5}{5}=\dfrac{- 10}{5} + \dfrac{5}{5}=\dfrac{- 10 + 5}{5}=\dfrac{- 5}{5}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{5}{3} - \dfrac{- 10}{6}=\dfrac{5}{3} + \dfrac{10}{6}=\dfrac{5 \times 2}{3 \times 2} + \dfrac{10}{6}=\dfrac{10}{6} + \dfrac{10}{6}=\dfrac{10 + 10}{6}=\dfrac{20}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 2}{8} + \dfrac{1}{7}=\dfrac{- 2 \times 7}{8 \times 7} + \dfrac{1 \times 8}{7 \times 8}=\dfrac{- 14}{56} + \dfrac{8}{56}=\dfrac{- 14 + 8}{56}=\dfrac{- 6}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{5}{10} - 1=\dfrac{5}{10} + \dfrac{- 1}{1}=\dfrac{5}{10} + \dfrac{- 1 \times 10}{1 \times 10}=\dfrac{5}{10} + \dfrac{- 10}{10}=\dfrac{5 - 10}{10}=\dfrac{- 5}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{9}{9} \times \dfrac{10}{8}=\dfrac{9 \times 10}{9 \times 8}=\dfrac{90}{72}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 7}{7} \times 6=\dfrac{- 7 \times 6}{7}=\dfrac{- 42}{7}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (4x - 9)(7x - 9)$
            \item $B = (5x + 1)(9x + 1)$

            \item $C = (6x + 6)^{2}$
            \item $D = 8 + x(10x + 6)$

            \item $E = - 9x^{2} + x(7x + 1)$
            \item $F = 3(x + 6)(x - 5)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (4x - 9)(7x - 9)\\&= 4x \times 7x + 4x \times - 9 - 9 \times 7x - 9 \times - 9\\&= 4 \times 7 \times x^{1 + 1} - 9 \times 4 \times x - 9 \times 7 \times x + 81\\&= - 36x - 63x + 28x^{2} + 81\\&= (- 36 - 63) \times x + 28x^{2} + 81\\&= 28x^{2} - 99x + 81
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (5x + 1)(9x + 1)\\&= 5x \times 9x + 5x \times 1 + 1 \times 9x + 1 \times 1\\&= 5 \times 9 \times x^{1 + 1} + 5x + 9x + 1\\&= 45x^{2} + 5x + 9x + 1\\&= 45x^{2} + (5 + 9) \times x + 1\\&= 45x^{2} + 14x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (6x + 6)^{2}\\&= (6x + 6)(6x + 6)\\&= 6x \times 6x + 6x \times 6 + 6 \times 6x + 6 \times 6\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} + 6 \times 6 \times x + 6 \times 6 \times x + 36\\&= 36x + 36x + 36x^{2} + 36\\&= (36 + 36) \times x + 36x^{2} + 36\\&= 36x^{2} + 72x + 36
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= 8 + x(10x + 6)\\&= 8 + x \times 10x + x \times 6\\&= 10x^{2} + 6x + 8
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= - 9x^{2} + x(7x + 1)\\&= - 9x^{2} + x \times 7x + x \times 1\\&= - 9x^{2} + 7x^{2} + x\\&= - 9x^{2} + 7x^{2} + x\\&= (- 9 + 7) \times x^{2} + x\\&= - 2x^{2} + x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 3(x + 6)(x - 5)\\&= (3x + 3 \times 6)(x - 5)\\&= (3x + 18)(x - 5)\\&= 3x \times x + 3x \times - 5 + 18x + 18 \times - 5\\&= - 5 \times 3 \times x - 90 + 3x^{2} + 18x\\&= - 15x - 90 + 3x^{2} + 18x\\&= 3x^{2} - 15x + 18x - 90\\&= 3x^{2} + (- 15 + 18) \times x - 90\\&= 3x^{2} + 3x - 90
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 6x^{2} + 54x - 60$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 6 \times 1^{2} + 54 \times 1 - 60=6 \times 1 + 54 - 60=6 - 6=0
            \]
            \[ 
                f(-1) = 6 \times - 1^{2} + 54 \times - 1 - 60=6 \times 1 - 54 - 60=6 - 114=- 108
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
