\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\author{Benjamin Bertrand}
\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
\date{Mars 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{1}
\section{Tests Bayésiens}

Un test bayésien permet d'affiner la vraisemblablité d'hypothèses. La vraisemblablité sont modélisées par des probabilités.

On part d'un \textbf{a priori} (notre évaluation de la vraisemblablité des hypothèses avant le test). Puis nous faisons le test ce qui permet d'ajuster la vraisemblablité des hypothèses. Nous obtenons un \textbf{a posteriori}.

\begin{center}
    \includegraphics[scale=1]{./fig/test_baysien}
\end{center}

\subsection*{Test médical}

Étudions l'intérêt d'un test médical. Pour faire simple, on considèrera que l'on est soit \textbf{malade} soit pas malade et que le test donne deux résultats possibles \textbf{positif} ou négatif. On notera alors
\[
    A = \left\{ \mbox{Malade} \right\} \qquad \qquad B = \left\{ \mbox{Test positif} \right\}
\]
\paragraph{Paramètres du test:}
\begin{itemize}
    \item \textbf{Sensibilité}: la probabilité que le test soit positif sachant que l'on est malade
        \[
            P_A(B) = 0.9
        \]
    \item \textbf{Spécificité}: la probabilité que le test soit négatif sachant que l'on est pas malade
        \[
            P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0.99
        \]
\end{itemize}
\paragraph{A priori:} on estime que 1\% de la population est malade. On appelle cela la \textbf{la prévalence} d'un maladie. On peut noter
\[
    P(A) = 1\% = 0.01
\]
J'ai donc une chance sur 100 d'avoir cette maladie.
\paragraph{Mise en situation:} On fait un test qui est positif. Comment réévaluer la probabilité d'être malade? C'est à dire connaître
\[
    P_B(A) = ?
\]

Imaginons une population de 1000 individus. En respectant les proportions, on peut construire le tableau des effectifs:

\begin{center}
    \begin{tabular}{|*{4}{p{3cm}|}}
        \hline
        & Test positif ($B$) & Test négatif ($\overline{B}$) & Total \\
        \hline
        Malade ($A$) & & & \\
        \hline
        Pas malade ($\overline{A}$) & & & \\
        \hline
        Total & & & 1000 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\afaire{Compléter le tableau et calculer la probabilité cherchée}


\envideo{https://www.youtube.com/watch?v=3FOrWMDL8CY}{Monsieur Phi - Loi de Bayes - argument frappant}


\end{document}