\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\author{Benjamin Bertrand}
\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
\date{Mars 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{2}
\section{Formule de Bayes}

\subsection*{Arbre de probabilité}
Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.

    Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:

\begin{minipage}{0.3\textwidth}
    \begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
        \node {.} 
        child [red]  {node {$A$}
            child {node {$B$} 
                edge from parent
                node[above] {$P_A(B)$}
            }
            child [black] {node {$C$}
                edge from parent
                node[above] {$P_A(C)$}
            } 
            child [black] {node {$D$}
                edge from parent
                node[above] {$P_A(D)$}
            } 
            edge from parent
            node[above] {$P(A)$}
        }
        child[missing] {}
        child[missing] {}
        child { node {$\overline{A}$}
            child {node {$B$} 
                edge from parent
                node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
            }
            child [black] {node {$C$}
                edge from parent
                node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
            } 
            child [black] {node {$D$}
                edge from parent
                node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
            } 
            edge from parent
            node[above] {$P(\overline{A})$}
        }%
        ;
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
    \begin{itemize}
        \item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1. 

            On a alors
            \[
                P(A) + P(\overline{ A }) = 1 
            \]
            ou encore
            \[
                P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
            \]
        \item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues. 

            On a alors (chemin rouge)
            \[
                P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
            \]
            Ou encore 
            \[
                P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
            \]
        \item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement. 

            C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
            \[
                P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
            \]
            ou
            \[
                P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
            \]
    \end{itemize}
\end{minipage}

\begin{definition}[ Formule de Bayes ]
    Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A)$ non nul, Alors
    \[
        P_A(B) = \frac{P_B(A) \times P(B)}{P(A)}
    \]
\end{definition}

\paragraph{Démonstration} \afaire{Démontrer la formule de Bayes à partir de la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }$.}

\paragraph{Exemple}
En utilisant les données et les notations de le l'exemple précédent, calculer la probabilité d'être malade sachant que l'on est positif.

\afaire{}



\end{document}