\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Manipulations techniques}, step={1}, origin={Créations}, topics={Logarithme}, tags={exponentielle, logarithme}]
    \begin{enumerate}
        \item Mettre sous la forme $a\times e^b$
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $A=e^2\times e^{-3}\times e^5$
                    \item $B=e^3 + 5e^3$
                    \item $C=(e^2)^5 \times e^{-3}$
                    \item $D= e^4 - (3e^2)^2$
                    \item $E=\dfrac{e^3}{e^6}$
                    \item $F=e^{10} + 3(e^2)^5$
                \end{enumerate}
            \end{multicols} 
        \item Réduire les expressions
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
                    \item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
                    \item $C=\dfrac{e^{3x}\times e^{x-1}}{e^{2+x}}$
                    \item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
                    \item $E=e^{-x}(e^x-1)$
                    \item $F=(e^x+1)^2$
                \end{enumerate}
            \end{multicols} 
        \item Factoriser
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $A = x^2e^x + 2e^x$
                    \item $B = e^{-0.1x} + (x+2)e^{-0.1x}$
                    \item $C = (x-1)e^{0.2x} - (x+3)e^{0.2x}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols} 
        \item Résoudre les équations et inéquations
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $e^{2x+1} = e^{x}$
                    \item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
                    \item $e^{2x+1} = e$
                    \item $e^{-x} - 1\geq 0$
                    \item $e^x(e^x-1) = 0$
                    \item $(x^2+x-2)(e^x-1) = 0$
                \end{enumerate}
            \end{multicols} 
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
            \item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
            \item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$

    On fixe $\tau = 2$.
    \begin{enumerate}
        \item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
        \item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
        \item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
        \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
        \item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={1}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer et interpréter $c(0)$.
        \item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
        \item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
        \item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
        \item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
    \end{enumerate}
\end{exercise}


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