\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

% Title Page
\title{DS8 \hfill CHION Léa}
\tribe{TST sti2d}
\date{\hfillÀ render pour le vendredi 9 avril à 10h au plus tard}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intOF{0}{+\infty}$ par $ f(x) = 5x^2 + 130x + 300\ln(x)$
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \frac{10x^2 + 130x + 300}{x}$.
        \item Étude du numérateur de $f'(x)$: $N(x) = 10x^2 + 130x + 300$
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $x=- 10$ et $x=- 3$ sont deux racines de $N(x)$..
                \item Proposer une forme factorisée de $N(x)$.
                \item Proposer une forme factorisée de $f'(x)$.
            \end{enumerate}
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item pas de correction disponible
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item \[N(- 10) = 0\]
                    \[N(- 3) = 0\]
                \item \[
                        N(x) = 10(x - - 10)(x - - 3)
                    \]
                \item 
                    \[
                        f'(x) = \frac{10(x - - 10)(x - - 3)}{x}
                    \]
            \end{enumerate}
        \item Pas de correction disponible
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Complexes}]
    \begin{enumerate}
        \item Mettre le nombre complexe suivant sous forme algébrique $z_1 = \dfrac{8 + 10 i}{-3 + 2 i} $
        \item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_2 = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$
        \item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_3 = - 10 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} i$
        \item Calculer le produit $z_4=z_2\times z_3$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
        \item Calculer le quotient $z_5=\frac{z_2}{z_3}$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item $z_1 = - \frac{4}{13} - \frac{46 i}{13}$
        \item $z_2 = 2 e^{- \frac{3 i \pi}{4}}$
        \item $z_3 = 20 e^{\frac{3 i \pi}{4}}$
        \item $z_4 = 40 e^{0} = 40 = 40.0$
        \item $z_5 = \frac{1}{10} e^{- \frac{3 i \pi}{2}} = \frac{i}{10} = 0.1 i$
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Sortie du congélateur}]
    Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer ses macarons maison.

    Elle les sort de son congélateur à $-20$~\degres C et les place dans une pièce à $24$~\degres C. 

    Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de $-3$~\degres C.

    \bigskip

    \textbf{Premier modèle}

    \medskip

    On suppose que la vitesse de décongélation est constante : chaque minute la hausse de
    température des macarons est la même.

    Estimer dans ce cadre la température au bout de $30$~minutes, puis au bout de $45$~minutes.

    Cette modélisation est-elle pertinente?

    \bigskip

    \textbf{Deuxième modèle}

    \medskip

    On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est proportionnelle à la différence
    de température entre les macarons et l'air ambiant (il s'agit de la loi de Newton). 

    On désigne par $\theta$ la température des macarons à l'instant $t$, et par $\theta'$ la vitesse de décongélation. 

    L'unité de temps est la minute et l'unité de température le degré Celsius.

    \smallskip

    On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra donc qu'il existe un
    nombre réel $a$ tel que, pour $t$ positif :

    \[\theta'(t) = a [\theta(t) - 24]\quad (E)\]

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Vérifier que l'équation $(E)$ a pour solutions $\theta(t) = K e^{at} + 24$ où $K$ est un nombre réel.

            Donner alors, en fonction de $a$, l'ensemble des solutions de $(E)$.
    \end{enumerate}
    On rappelle que la température des macarons à l'instant $t = 0$ est égale à $-20$~\degres C et que, au bout de $15$~min, elle est de $-3$~\degres C.
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{1}
    \item En utilisant la condition à $t=0$ démontrer que $K = -44$.
    \item En utilisant la condition à $t=15$ démontrer que $a \approx -0.03$.
    \item En déduire l'expression de la solution de l'équation différentielle puis étudier ses variations.
    \item La température idéale de dégustation des macarons étant de $21$~\degres C, Marie estime que
        celle-ci sera atteinte au bout de $30$~min. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.

        Sinon, combien de temps faudra-t-il attendre ?
\end{enumerate}
\end{exercise}



\end{document}

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%%% TeX-master: "master"
%%% End:
