\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
\date{octobre 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Expérience et loi de Bernoulli}

\subsection*{Définition}

Une expérience aléatoire qui a deux issues possibles (que l'on nommera \textbf{succès} et \textbf{échec}) est appelé \textbf{expérience de Bernoulli}.

En associant la valeur 1 à un succès et 0 à un échec. On peut modéliser cette expérience avec un variable aléatoire $X$ qui suit un \textbf{loi de Bernoulli} (notée $X \sim \mathcal{B}(p)$) résumée par le tableau suivant:

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|*{2}{C{2cm}|}}
        \hline
        Valeurs & 1 & 0 \\
        \hline
        Probabilité & p & 1-p \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

où $p$ est la probabilité d'avoir un succès.

\subsubsection*{Exemple}
Un passager qui a 9 chances sur 10 de se présenter à l'embarquement d'un avion.

\afaire{Préciser ce qu'est le succès, l'échec, déterminer la valeur de $p$ et compléter le tableau}

\subsection*{Propriétés}
Soit $X \sim \mathcal{B}$ alors
\begin{itemize}
    \item L'espérance de $X$ est $E[X] = p$
    \item L'écart-type de $X$ est $\sigma = p(1-p)$
\end{itemize}

\subsubsection*{Démonstration}
\afaire{Démontrer la formule de l'espérance}

\section{Loi binomiale}

On a vu que pour simuler tout un vol, c'est à dire 53 passagers, il fallait répéter 53 fois la loi de Bernoulli vue dans l'exemple précédent. Les répétitions de loi de Bernoulli s'appellent \textbf{schéma de Bernoulli} et sont modéliser avec une loi \textbf{binomiale}.

\subsection*{Définition}

La \textbf{loi Binomiale de paramètre $n$ et $p$} notée $\mathcal{B}(n;p)$ est la loi de probabilité qui modélise la répétition indépendantes et identiques de $n$ situations modélisées par une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

\bigskip

Ces situations peuvent être représenté par un arbre de probabilité où chaque étage correspond à une répétition.

\subsubsection*{Exemple}

Dans une classe de 20 élèves, Sarah ne veut pas être interrogée sur son travail. Le professeur interroge au hasard 3 élèves qu'il choisit de façon indépendantes et identiques.

On note $X$ le nombre de fois que Sarah est interrogée. 

\afaire{Quelle loi suit $X$? Représenter la situation avec un arbre de probabilité}


\end{document}
