\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={"factorisation"}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonctions inverse}]
    Démontrer les égalités suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $x + 1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2 + x + 1}{x}$ 
            \item $x + 1 + \dfrac{-1}{x^2} = \dfrac{x^3 + x^2 - 1}{x^2}$ 

            \item $2x - 5 +  \dfrac{5}{x^2} = \dfrac{2x^3 -5 x^2 + 5}{x^2}$ 
            \item $\dfrac{3}{x} + 2x + 1= \dfrac{2x^2 + x + 3}{x}$ 

            \item $1 - \dfrac{121}{x^2} = \dfrac{(x-11)(x+11)}{x^2}$ 
            \item $9 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{(3x - 1)(3x+1)}{x^2}$ 
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonctions inverse}]
    \begin{enumerate}
        \item Dériver les fonctions suivantes
        \begin{multicols}{4}
            \begin{enumerate}
                \item $f(x) = x - 6 + \dfrac{4}{x}$
                \item $g(x) = 2x + 4 + \dfrac{8}{x}$
                \item $h(x) = x + 2 + \dfrac{1}{x}$
                \item $i(x) =  3x + 40 + \dfrac{2700}{x}$
            \end{enumerate}
        \end{multicols}
        \item En réutilisant les fonctions ci-dessus démontrer que l'on peut mettre leur dérivée sous la forme suivante
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $f'(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$
                    \item $g'(x) = \dfrac{(2x-2)(x+1)}{x^2}$
                    \item $h'(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$
                    \item $i'(x) = \dfrac{3(x-30)(x+30)}{x^2}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Pour chacune des fonctions, étudier le signe de leur dérivée puis en déduire leurs variations.
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}