\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Logarithme - Cours}
\date{avril 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{2}

\section{Règles de calculs et équations avec les logarithmes}

\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
    Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
    \begin{eqnarray*}
        ln(1) &=& 0\\
        ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
        ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
        ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
    \end{eqnarray*}
\end{propriete}

\paragraph{Démonstration}%
\label{par:Démonstration}
\begin{itemize}
    \item $\ln(1)  = 0$
        \vspace{2cm}
    \item $\ln(\frac{1}{a})  = -\ln(a)$
        \vspace{2cm}
\end{itemize}


\paragraph{Exemples d'utilisation}%
\afaire{Écrire sous la forme d'une seul logarithme $A = 3\ln(8) - \ln(2) + 4\ln(5)$}
\afaire{Démontrer l'égalité $\ln(6x) + \ln(\frac{x}{2}) +\ln(\frac{x}{3}) = 3\ln(x)$}


Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.

\subsection*{Propriétés}
Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
\begin{itemize}
    \item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
    \item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
    \item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
\end{itemize}

\subsubsection*{Exemple}
\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
\afaire{Résoudre l'équation $\ln(2x+1) = 10$}

\end{document}