\collectexercises{banque} \begin{exercise}[subtitle={Limites de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8] \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, ymin=0,ymax=10,ystep=1] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**2} \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=x^2$} \end{tikzpicture} \hfill \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1] \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1, ymin=-10,ymax=10,ystep=2] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**3} \tkzText[draw,fill = brown!20](1,-2){$f(x)=x^3$} \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=.8] \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, ymin=0,ymax=5,ystep=1] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{exp(x)} \tkzText[draw,fill = brown!20](2,1){$f(x)=\text{e}^{x}$} \end{tikzpicture} \hfill \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.5] \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1, ymin=-3,ymax=3,ystep=1] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{log(x)} \tkzText[draw,fill = brown!20](2,2){$f(x)=\ln(x)$} \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=1] \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1, ymin=-2,ymax=2,ystep=1] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain = -2:8, line width=1pt]{1 - exp(-x)} \tkzText[draw,fill = brown!20](1,1.5){$f(x)=1-e^{-x}$} \end{tikzpicture} \hfill \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8] \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, ymin=-5,ymax=5,ystep=1] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x} \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x} \tkzText[draw,fill = brown!20](-2,2){$f(x)=\frac{1}{x}$} \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=.8] \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, ymin=-1,ymax=10,ystep=1] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x**2} \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x**2} \tkzText[draw,fill = brown!20](3,3){$f(x)=\frac{1}{x^2}$} \end{tikzpicture} \hfill \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=.8] \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, ymin=-2,ymax=2,ystep=1] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{cos(x)} \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=\cos{x}$} \end{tikzpicture} À l'aide des graphiques ci-dessus, déterminer graphiquement les quantités suivantes \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2 = $ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 = $ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} e^x = $ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) = $ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 1-e^{-x} = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 1-e^{-x} = $ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = $ \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x} = $ \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x} = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = $ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x^2} = $ \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x^2} = $ \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x^2} = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = $ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \cos(x) = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \cos(x) = $ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Découverte des limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] Cet exercice se réaliser avec Géogebra. Son but est de déterminer deux règles pour calculer les limites de polynômes. \begin{enumerate} \item Limites de fonctions du type $x^n$ où $n$ est un entier non nul. \begin{enumerate} \item Régler les curseurs a, b, c, d, e et f pour obtenir le graphique de la fonction $P(x) = x$. Noter les limites en $-\infty$ et en $+\infty$. \item Réaliser le même travail pour les fonctions $x^2$, $x^3$, $x^4$ et $x^5$. \item Conjecturer les limites du tableau suivant: \begin{center} \begin{tabular}{|l|*{2}{c|}} \hline $\ds \lim_{x\rightarrow ...} x^n = $ & $n$ paire & $n$ impaire\\ \hline $+\infty$ & & \\ \hline $-\infty$ & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \item Simplification des limites des polynôme. \begin{enumerate} \item Régler les curseurs pour faire apparaitre la fonction $P(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ \item Déplacer les curseurs b, c, d, e et f. Est-ce que ces curseurs ont un impact sur les limites en $+\infty$? en $-\infty$? \item Proposer une façon de simplifier les calculs de limites. \item Faire varier le curseur a, quel est son impact sur les limites? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Calculs de limtes de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] Calculer les limites suites \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -4x^2 + 3x + 1 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -4x^2 + 100 x - 4 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 4x^3 - 3x + 100 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -7x^5 + 6x + 0.7 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 - 3x^3 + 19 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -0.1x^11 + x + 1 = $ \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-1}{2}x^5 + 3x + 1 = $ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \collectexercisesstop{banque}