\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Équations puissances}, step={1}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
    Résoudre les équations et inéquation suivantes
    \begin{multicols}{4}
       \begin{enumerate}
           \item $e^{x} = 5$
           \item $e^{x} = 1$
           \item $e^{x} = -10$
           \item $e^{2x} = 3$

           \item $e^{-3x} = 10$
           \item $e^{5x+1} = 10$
           \item $2e^{x} = 6$
           \item $-3e^{x} = -9$

           \item $4e^{x} + 1 = 6$
           \item $-5e^{-x} + 1 = -1$
           \item $4e^{x^2} - 3 = 6$
           \item $-4e^{x+1} - 3 = 1$
       \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Équations logarithme}, step={1}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
    Résoudre les équations suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ln(x) = 4$
            \item $\ln(x) + 1 = 0$
            \item $5\ln(x) -3 = 5$
            \item $\ln(x) =3\ln(5)$
            \item $\ln(2x+3) = 0$
            \item $(x+1)\ln(x) = 0$
            \item $\ln(x+2) + \ln(3) = \ln(x)$
            \item $\ln(2x+1) = 2\ln(x)$
            \item $\ln(x) + \ln(x+2) = \ln(9x-12)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Manipulation d'expressions}, step={1}, origin={Création}, topics={Logarithme Népérien}, tags={analyse, logarithme}]
    Démontrer les égalités suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $\ln(2e^3) + \ln(e) - \ln(2) = 4$
            \item $\ln(x) + \ln(x+1) = \ln(x^2+x)$
            \item $\ln(x^2) + \ln(\frac{1}{x}) - \ln(2) = \ln(\frac{x}{2})$
            \item $\ln(x^3) + \ln(\frac{e^2}{x}) = 2\ln(x) + 2$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Éléments remarquables du logarithme}, step={2}, topics={Logarithme}]
    \begin{enumerate}
        \item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
        \item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
        \item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
        \item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={2}, topics={Logarithme}]
    Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = x-2-\ln(x)$
            \item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
            \item $f(x) = x\ln(x)$
            \item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
            \item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
            \item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par $ f(x) = 10x - 15\ln(x)$
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \frac{10x-15}{x}$.
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction - Bis}, step={2}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par $ f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)$
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}$.
        \item Étude du numérateur de $f'(x)$: $N(x) = -x^2 + 2x + 15$
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $x=5$ et $x=-3$ sont deux racines de $N(x)$..
                \item Proposer une forme factorisée de $N(x)$.
                \item Proposer une forme factorisée de $f'(x)$.
            \end{enumerate}
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\collectexercisesstop{banque}