\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Position - vitesse - accélération}, step={1}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    \begin{enumerate}
        \item On observe un mobile en mouvement et on décrit sa position verticale en fonction du temps $t$ en secondes par la fonction $z(t) = -4,9t^2 + 12$.
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer la fonction décrivant la vitesse du module $v(t) = z'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dz}{dt}$).
                \item Déterminer la fonction décrivant l'accélération du module $a(t) = v'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dv}{dt}$).
                \item À quelle hauteur le mobile a été lâché? Quel était alors sa vitesse? Son accélération?
            \end{enumerate}
        \item On étudie un mobile en chute libre. On le lance à une hauteur de 10m au dessus du sol avec une vitesse de 1m/s. Un bilan des forces permet de connaître son accélération au cours du mouvement: $a(t) = -10$.
            \begin{enumerate}
                \item On rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse ($a(t) = v'(t)$). Déterminer la fonction vitesse du mobile.
                \item On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position ($v(t) = z(t)$). Déterminer la fonction position du mobile.
                \item Est-ce que les deux fonctions déterminées aux questions précédentes sont conformes aux conditions initiales? 
            \end{enumerate}
        \item On considère maintenant les frottements dûs à l'air. Ils exercent une force proportionnelle à la vitesse. Le bilan des forces mène à la fonction accélération suivante: $a(t) = v'(t) = kv(t)$. Pour simplifier on considèrera que $k = 1$ et on a donc $a(t) = v'(t) = v(t)$
            \begin{enumerate}
                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction constante?
                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction polynôme?
                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction exponentielle?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Vérifications}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    Vérifier si les fonctions sont oui ou non solution des équations différentielles.
\end{exercise}
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