\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

% Title Page
\title{DM1 \hfill MOLINIER Annelise}
\tribe{Maths complémentaires}
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.

\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $20m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges. 

        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \begin{tikzpicture}
            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

    \begin{enumerate}
        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{10}{x}$.
        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
            \[
                S(x) = 4x + 20 + \frac{40}{x}
            \]
        \item Démontrer que
            \[
                S(x) = \frac{4x^2 + 20x + 40}{x}
            \]
        \item Démontrer que 
            \[
                S'(x) = \frac{4x^2 - 40}{x^2}
            \]
        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
            \begin{itemize}
                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $10 / 2$
                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $10 / 3$
            \end{itemize}
        \item Pour calculer le volume, on a
            \begin{eqnarray*}
                V &=& h\times x \times 2 \\
                20 &=& h\times x \times 2 \\
                x &=& \frac{20}{h\times 2} = \frac{10}{h}
            \end{eqnarray*}
        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
            \begin{eqnarray*}
                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
                S(x) &=& x\times \frac{10}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{10}{x}\times 2\times 2\\
                S(x) &=& 4x + 20 + \frac{40}{x}
            \end{eqnarray*}
        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
            \begin{eqnarray*}
                S(x) &=& 4x + 20 + \frac{40}{x}\\
                S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{20\times x}{x} + \frac{40}{x}\\
                S(x) &=& \frac{4x^2 + 20x + 40}{x}
            \end{eqnarray*}
        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
            \[
                u(x) = 4x^2 + 20x + 40 \Rightarrow u'(x) = 8x + 20
            \]
            \[
                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
            \]
            Donc au numérateur on obtient
            \begin{eqnarray*}
                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 20)\times x - (4x^2 + 20x + 40)\times 1\\
                                                    &=& 4x^2 - 40
            \end{eqnarray*}
            Donc
            \[
                S'(x) = \frac{4x^2 - 40}{x^2}
            \]
        \item Tableau de variations de $S$

            \begin{itemize}
                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
                \item Signe de $4x^2 - 40$: c'est un polynôme du 2e degré
                    \[
                        \Delta = 640 > 0
                    \]
                    Il y a donc 2 racines
                    \[
                        x_1 = - 3.1622776601683795 \qquad
                        x_2 = 3.1622776601683795
                    \]
                    Et on sait que $4x^2 - 40$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
                \item Tableau de variations

                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 40$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3.1622776601683795$, $10$}
                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
                    \end{tikzpicture}

            \end{itemize}
        \item On a donc une surface minimal pour $x=3.1622776601683795$ et $h = 31.6227766016837950$.
    \end{enumerate}
\end{solution}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
    Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par 

    \[
        f(x) = \left(- x^{2} + 5.1 x - 3.5\right) e^{- x} + 3.5
    \]
    On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
    \begin{enumerate}
        \item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
        \item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
            \[
                F(x) = 3.5 x +  \left( x^{2} - 3.1 x + 0.4\right) e^{- x}
            \]
        \item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
        \item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
                \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
                ymin=0,ymax=10,ystep=1]
                \tkzGrid
                \tkzAxeXY
                \tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
                { (-x**2 + 5.1*x - 3.5)*exp(-x) + 3.5 };
            \end{tikzpicture}
        \item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
        \item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{4.0}{e^{4}} + 13.6$
        \item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à 
            \[
                (\frac{4.0}{e^{4}} + 13.6)\times 4 \times 15^2 = 12306.00000
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
    \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}

    \bigskip

    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \textbf{Partie A}

        \medskip

        Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.

        L'atelier A fabrique 52.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 81.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.

        De plus, 31.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.

        Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.

        On considère les évènements suivants:

        \begin{itemize}
            \item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
            \item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
            \item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
        \end{itemize}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[sloped]
                    \node {.} 
                    child {node {$A$}
                        child {node {$D$} 
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        }
                        child {node {$\overline{D}$}
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {...}
                    }
                    child[missing] {}
                    child { node {$B$}
                        child {node {$D$}
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        }
                        child {node {$\overline{D}$}
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {...}
                    } ;
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
    \end{minipage}

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
        \item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.

        \item  
            \begin{enumerate}
                \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
                \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.73$.
            \end{enumerate}
        \item  On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
    \end{enumerate}

    \bigskip

    \textbf{Partie B}
    \medskip

    Dans cette partie, on suppose que 73.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.

    L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.

    Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.

    On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.

    On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{4}
        \item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
        \item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 6)$.
        \item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
        \item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
    \end{enumerate}
    \pagebreak
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[sloped]
                    \node {.} 
                    child {node {$A$}
                        child {node {$D$} 
                            edge from parent
                            node[above] {0.81}
                        }
                        child {node {$\overline{D}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.19}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.52}
                    }
                    child[missing] {}
                    child { node {$B$}
                        child {node {$D$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.65}
                        }
                        child {node {$\overline{D}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.35}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.48}
                    } ;
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item
            \begin{itemize}
                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
                    \[
                        P(A) = 0.52
                    \]
                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
                    \[
                        P(B) = 0.48
                    \]
                \item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
                    \[
                        P_A(D) = 0.81
                    \]
                \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
                    \[
                        P(D \cap D) = 0.31
                    \]
            \end{itemize}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
                    \[
                        P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.52 \times 0.81 = 0.42
                    \]
                \item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
                    \[
                        P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.42 + 0.31 = 0.73
                    \]
            \end{enumerate}
        \item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
            \[
                P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.42}{0.73} = 0.58
            \]
        \item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0.73$.
        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
            \[
                P(X = 6) = \coefBino{10}{6}\times 0.73^{6} \times 0.27^{4}
            \]
        \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}

            Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
            \[
                P(X = 0) = \coefBino{10}{0}\times 0.73^{0} \times 0.27^{10}
            \]
            Puis comparer ce nombre à 0,5.
        \item Il faut calculer l'espérance
            \[
                E[X] = n\times p = 10 \times 0.73 = 7.3
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\end{document}

%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: "master"
%%% End:
