\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

% Title Page
\title{DS 9}
\tribe{Terminale STIED}
\date{17 mai 2021}
\duree{1h}

\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, points=6]
    Dans cet exercices toutes les questions sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. Chaque réponse doit être expliquée et les calculs détaillés.
    \begin{enumerate}
        \item Résoudre l'équation différentielle 
        \[y' = 5y+2\]
        \item Résoudre l'équation différentielle 
            \[ \dfrac{df}{dx} = 2x^4 + \cos(x) \]
        \item Soit $f(t) = K e^{-0.2t} + 5$. On sait que $f(5) = 100$. Déterminer la valeur de $K$.
        \item Démontrer que $\ln(x^2) + \ln(\frac{1}{x}) - \ln(2) = \ln(\frac{x}{2})$
        \item Résoudre l'équation suivante
            \[
                5\ln(x+1) + 2 = 7
            \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, points=7]
    Dans cet exercices toutes les questions sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. Chaque réponse doit être expliquée et les calculs détaillés.
    \begin{enumerate}
        \item On considère les deux fonctions suivantes

            \begin{multicols}{2}
                Fonction $f(x)$

                \includegraphics[scale=0.2]{./fig/graph1}

                \columnbreak

                Fonction $g(x)$
                
                \includegraphics[scale=0.3]{./fig/graph2}
            \end{multicols}
            Trouver graphiquement les quantités suivantes
            \begin{multicols}{4}
            \begin{enumerate} 
                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)  $
                \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)  $

                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)  $
                \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 1\\>}} g(x)  $
            \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Calculer les quantités suivantes en expliquant votre raisonnement.
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 - 4x + 1$
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 10x^3 - 100x - 10$
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -5x^2 + x + 1$
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x^2 - 4x + 1}{x^3 + 1}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, points=7]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intOF{0}{+\infty}$ par $ f(x) = x^2 - 4x - 70\ln(x)$
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - 70}{x}$.
        \item Étude du numérateur de $f'(x)$: $N(x) = 2x^2 - 4x - 70$
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $x=5$ et $x=-7$ sont deux racines de $N(x)$.
                \item Proposer une forme factorisée de $f'(x)$.
            \end{enumerate}
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
        \item Tracer à la calculatrice l'allure de la courbe représentative de $f$.
        \item En déduire graphiquement les quantités suivantes puis compléter le tableur de variations.
            \[
                \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = \qquad \qquad \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 
            \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: