\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Représentation avec des arbres}, step={1}, origin={Création}, topics={Loi binomiale}, tags={Probabilité, Binomiale, Tableur}]
    Représenter chacune des situations suivantes par un arbre de probabilité.
    \begin{enumerate}
        \item Dans mon jardin j'ai planté 3 fraisiers suffisamment éloignés pour qu'ils ne se gênent pas. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas. Je m'intéresse au nombre de fraisier qui donneront des fruits.
        \item Bob mange à la cantine 3 fois par semaine. À chaque fois, il se demande s'il prend un dessert plutôt qu'un fromage ce qu'il fait 2 fois sur 3. On s'intéresse au nombre de fois où il a mangé du dessert en une semaine.
        \item Dans un sachet, il reste 6 bonbons: 2 à la fraise et 4 au réglisse. J'en choisi 4 au hasard et je les mange. Je m'intéresse au nombre de bonbon à la fraise que j'ai mangé.
        \item Dans un jeu vidéo, j'ai une chance sur 6 de commencer avec un compagnon de type "Terre". Je lance 4 parties et je m'intéresse au nombre de fois où j'ai commencé avec un compagnon de type "Terre".
        \item Je joue avec un dé à 6 faces. J'ai le droit à un maximum de 4 lancers. J'arrête de lancer dès que j'ai obtenu un 6. Je compte le nombre de lancer que je fais.
        \item Un examen comporte 3 épreuves. On a une chance sur 2 d'avoir la moyenne à l'épreuve de français, 20\% de chance d'avoir la moyenne en histoire et 80\% de chance d'avoir la moyenne en math. On s'intéresse au nombre de fois où l'on peut avoir la moyenne.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Création}, step={1}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
    Proposer une expérience aléatoire qui pourrait être modélisée avec une loi binomiale. Vous détaillerez ensuite les paramètres et justifierez la modélisation.
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Jeux}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
    Bob joue à un jeu où il estime qu'il a 70\% de chance de gagner une partie. Entre 2 parties, il prend le temps de se reposer pour que la précédente partie n'influence pas la suivante.

    On note $V$ l'évènement "Bob gagne la partie".

    Bob fait 2 parties et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de victoire.
    \begin{enumerate}
        \item Faire un arbre qui modélise la situation.
        \item Déterminer la probabilité que Bob gagne une seule partie.
        \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
        \item Calculer et interpréter les probabilités suivantes
            \[
                P(X = 0) \qquad P(X=2)
            \]
        \item Dresser le tableau de la loi de probabilités de $X$.
        \item Calculer l'espérance de $X$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Repas}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
    Bob adore manger des légumes. Chaque jour, il choisit au hasard un fruit dans une panière quotidiennement remplie par ses parents contenant 7 bananes, 5 pommes et 2 kiwi.

    Ses parents veulent essayer de prévoir la consommation en banane de Bob sur 3 jours.

    On note donc $X$ le nombre bananes mangées par Bob sur 3 jours et $B$ l'évènement "Bob mange une banane".
    \begin{enumerate}
        \item Faire un arbre qui modélise la situation.
        \item Déterminer la probabilité que Bob gagne deux bananes.
        \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
        \item Calculer les probabilités suivantes
            \[
                P(X = 1) \qquad P(X=0) \qquad P(X \leq 2)
            \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Auto-école}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
    Dans une auto-école, à chaque session 75\% des candidats réussissent à avoir leur code.

    \begin{enumerate}
        \item On interroge au hasard 4 candidats d'une session pour savoir s'ils ont eu leur code. On note $X$ variable aléatoire qui compte le nombre de réponse positive.
            \begin{enumerate}
                \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
                \item Calculer les probabilités suivantes
                    \[
                        P(X = 1) \qquad \qquad
                        P(X = 4) \qquad \qquad
                        P(X \leq 1)
                    \]
                \item Quelle est la probabilité qu'au moins un candidat ait répondu positivement.
            \end{enumerate}
        \item Cette fois-ci, on choisit un candidat et on note $Y$ le nombre de sessions qu'il a du passer avant d'avoir code.
            \begin{enumerate}
                \item Faire un arbre pour représenter la situation.
                \item Peut-on modéliser $Y$ avec une loi binomiale? Si oui, préciser les paramètres.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Construction d'une formule}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
    \textit{Ce travail doit être fait sans calculatrice, vous écrirez les calculs que vous auriez tapé à la place des résultats dans le tableau. Si vous y arrivez, vous pouvez vous passer de faire l'arbre.}
    \begin{enumerate}
        \item Pour chacune des situations suivantes, construire l'arbre de probabilités et le tableau résumant la loi de probabilité. 
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $X \sim \mathcal{B}(2, 0.1)$
                    \item $X \sim \mathcal{B}(3, 0.4)$
                    \item $X \sim \mathcal{B}(3, 0.05)$
                    \item $X \sim \mathcal{B}(4, 0.98)$
                    \item $X \sim \mathcal{B}(4, 0.60)$
                    \item $X \sim \mathcal{B}(5, 0.4)$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}

        \item Au regard des tableaux obtenus à la question précédente, commencer à construire une formule qui permet de calculer les probabilités d'une loi binomiale. Quelle partie reste difficile à calculer?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Triangle de Pascal}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
    \noindent
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        Dans cet exercice, $n$ représente le nombre de répétitions et $k$ le nombre de succès.
        \begin{enumerate}
            \item En vous aidant de ce qui a été fait à l'exercice précédent, compléter le tableau ci-dessous avec les coefficients binomiaux.
            \item Quelles sont les cases qui seront toujours vide?
            \item Quelles sont les cases qu'il est "facile" de remplir?
            \item Conjecturer une façon de calculer les autres. 
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tabular}{|*{8}{p{0.8cm}|}}
            \hline
            n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 
            \hline
            0 & 1 & & & & & &\\
            \hline
            1 & & & & & & &\\
            \hline
            2 & & & & & & &\\
            \hline
            3 & & & & & & &\\
            \hline
            4 & & & & & & &\\
            \hline
            5 & & & & & & &\\
            \hline
            6 & & & & & & &\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Vaccination des chiots}, step={5}, origin={Indice Math Complémentaire 84p178}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
    Dans un chenil, on vaccine 5 chiots de façon indépendante. Lors des vaccinations précédente, on avait constaté que le chiot avait une chance sur cinq d'avoir une réaction forte au vaccin.

    On note $X$ le nombre de chiots qui auront une réaction forte au vaccin.
    \begin{enumerate}
        \item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
        \item Calculer $P(X=1)$. Interpréter le résultat.
        \item Quelle est la probabilité que 5 chiots aient une réaction forte??
        \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Temps de trajet}, step={5}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
    Pour aller au travail, je croise 6 feux. En interrogeant les employés municipaux en charge de la voirie, j'ai appris que ces feux étaient indépendants les uns des autres et qu'ils étaient rouges 70\% du temps.

    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de feux rouges que je rencontre en allant travailler.
    \begin{enumerate}
        \item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
        \item Calculer $P(X=2)$. Interpréter le résultat.
        \item Quelle est la probabilité que je rencontre 5 feux rouges ou plus?
        \item Combien de feux rouge vais-je avoir en moyenne quand je vais au travail?
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}
