\begin{exercise}[subtitle={Stylos}] %- set pA = round(random(), 2) %- set pB = round(1 - pA, 2) %- set pD_A = round(random(), 2) %- set pD_B = round(random(), 2) %- set pDB = round(pB*pD_B, 2) %- set pDA = round(pA*pD_A, 2) %- set pD = round(pDA + pDB, 2) \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.} \bigskip \begin{minipage}{0.6\linewidth} \textbf{Partie A} \medskip Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise. L'atelier A fabrique \Var{pA*100 | round(2)}\,\% des stylos, et parmi ceux-là, \Var{pD_A*100 | round(2)}\,\% possèdent un défaut de fabrication. De plus, \Var{pDB*100 | round(2)}\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B. Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise. On considère les évènements suivants: \begin{itemize} \item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg \item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg \item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg \end{itemize} \end{minipage} \begin{minipage}{0.4\linewidth} \begin{center} \begin{tikzpicture}[sloped] \node {.} child {node {$A$} child {node {$D$} edge from parent node[above] {...} } child {node {$\overline{D}$} edge from parent node[above] {...} } edge from parent node[above] {...} } child[missing] {} child { node {$B$} child {node {$D$} edge from parent node[above] {...} } child {node {$\overline{D}$} edge from parent node[above] {...} } edge from parent node[above] {...} } ; \end{tikzpicture} \end{center} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre \item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication. \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $\Var{pD}$. \end{enumerate} \item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} %- set nbr = randint(10, 20) %- set k = randint(int(nbr/2), nbr) \medskip Dans cette partie, on suppose que \Var{pD*100 | round(2)}\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication. L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos. Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos. On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{4} \item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres. \item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = \Var{k})$. \item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ? \item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne? \end{enumerate} \pagebreak \end{exercise} \begin{solution} \begin{enumerate} \item \begin{center} \begin{tikzpicture}[sloped] \node {.} child {node {$A$} child {node {$D$} edge from parent node[above] {\Var{pD_A}} } child {node {$\overline{D}$} edge from parent node[above] {\Var{round(1-pD_A, 2)}} } edge from parent node[above] {\Var{pA}} } child[missing] {} child { node {$B$} child {node {$D$} edge from parent node[above] {\Var{pD_B}} } child {node {$\overline{D}$} edge from parent node[above] {\Var{round(1-pD_B, 2)}} } edge from parent node[above] {\Var{pB}} } ; \end{tikzpicture} \end{center} \item \begin{itemize} \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A \[ P(A) = \Var{pA} \] \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B \[ P(B) = \Var{pB} \] \item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A. \[ P_A(D) = \Var{pD_A} \] \item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut. \[ P(D \cap D) = \Var{pDB} \] \end{itemize} \item \begin{enumerate} \item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut \[ P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = \Var{pA} \times \Var{pD_A} = \Var{pDA} \] \item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication. \[ P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = \Var{pDA} + \Var{pDB} = \Var{pD} \] \end{enumerate} \item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut \[ P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{\Var{pDA}}{\Var{pD}} = \Var{round(pDA/pD, 2)} \] \item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=\Var{nbr}$ et $p=\Var{pD}$. \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final} \[ P(X = \Var{k}) = \coefBino{\Var{nbr}}{\Var{k}}\times \Var{pD}^{\Var{k}} \times \Var{round(1 - pD, 2)}^{\Var{nbr-k}} \] \item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final} Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut. \[ P(X = 0) = \coefBino{\Var{nbr}}{0}\times \Var{pD}^{0} \times \Var{round(1 - pD, 2)}^{\Var{nbr}} \] Puis comparer ce nombre à 0,5. \item Il faut calculer l'espérance \[ E[X] = n\times p = \Var{nbr} \times \Var{pD} = \Var{round(nbr*pD, 2)} \] \end{enumerate} \end{solution}