\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill BENHATTAL Chakir}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{5}{3} - \dfrac{5}{3}$
            \item $B = \dfrac{6}{7} - \dfrac{6}{14}$

            \item $C = \dfrac{- 7}{8} + \dfrac{- 1}{7}$
            \item $D = \dfrac{- 8}{2} + 10$

            \item $E = \dfrac{- 2}{9} \times \dfrac{- 9}{8}$
            \item $F = \dfrac{- 3}{3} \times - 10$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{5}{3} - \dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{3} - \dfrac{5}{3}=\dfrac{5 - 5}{3}=\dfrac{5 - 5}{3}=\dfrac{0}{3}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{6}{7} - \dfrac{6}{14}=\dfrac{6}{7} - \dfrac{6}{14}=\dfrac{6 \times 2}{7 \times 2} - \dfrac{6}{14}=\dfrac{12}{14} - \dfrac{6}{14}=\dfrac{12 - 6}{14}=\dfrac{12 - 6}{14}=\dfrac{6}{14}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 7}{8} + \dfrac{- 1}{7}=\dfrac{- 7 \times 7}{8 \times 7} + \dfrac{- 1 \times 8}{7 \times 8}=\dfrac{- 49}{56} + \dfrac{- 8}{56}=\dfrac{- 49 - 8}{56}=\dfrac{- 57}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 8}{2} + 10=\dfrac{- 8}{2} + \dfrac{10}{1}=\dfrac{- 8}{2} + \dfrac{10 \times 2}{1 \times 2}=\dfrac{- 8}{2} + \dfrac{20}{2}=\dfrac{- 8 + 20}{2}=\dfrac{12}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 2}{9} \times \dfrac{- 9}{8}=\dfrac{- 2 \times - 9}{9 \times 8}=\dfrac{18}{72}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{3} \times - 10=\dfrac{- 3 \times - 10}{3}=\dfrac{30}{3}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (- 10x + 2)(9x + 2)$
            \item $B = (2x - 7)(- 9x - 7)$

            \item $C = (4x - 8)^{2}$
            \item $D = - 3 + x(9x - 8)$

            \item $E = - 4x^{2} + x(6x - 5)$
            \item $F = - 10(x + 5)(x + 9)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (- 10x + 2)(9x + 2)\\&= - 10x \times 9x - 10x \times 2 + 2 \times 9x + 2 \times 2\\&= - 10 \times 9 \times x^{1 + 1} + 2 \times - 10 \times x + 2 \times 9 \times x + 4\\&= - 20x + 18x - 90x^{2} + 4\\&= (- 20 + 18) \times x - 90x^{2} + 4\\&= - 90x^{2} - 2x + 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (2x - 7)(- 9x - 7)\\&= 2x \times - 9x + 2x \times - 7 - 7 \times - 9x - 7 \times - 7\\&= 2 \times - 9 \times x^{1 + 1} - 7 \times 2 \times x - 7 \times - 9 \times x + 49\\&= - 14x + 63x - 18x^{2} + 49\\&= (- 14 + 63) \times x - 18x^{2} + 49\\&= - 18x^{2} + 49x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (4x - 8)^{2}\\&= (4x - 8)(4x - 8)\\&= 4x \times 4x + 4x \times - 8 - 8 \times 4x - 8 \times - 8\\&= 4 \times 4 \times x^{1 + 1} - 8 \times 4 \times x - 8 \times 4 \times x + 64\\&= - 32x - 32x + 16x^{2} + 64\\&= (- 32 - 32) \times x + 16x^{2} + 64\\&= 16x^{2} - 64x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 3 + x(9x - 8)\\&= - 3 + x \times 9x + x \times - 8\\&= 9x^{2} - 8x - 3
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= - 4x^{2} + x(6x - 5)\\&= - 4x^{2} + x \times 6x + x \times - 5\\&= - 4x^{2} + 6x^{2} - 5x\\&= - 4x^{2} + 6x^{2} - 5x\\&= (- 4 + 6) \times x^{2} - 5x\\&= 2x^{2} - 5x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 10(x + 5)(x + 9)\\&= (- 10x - 10 \times 5)(x + 9)\\&= (- 10x - 50)(x + 9)\\&= - 10x \times x - 10x \times 9 - 50x - 50 \times 9\\&= 9 \times - 10 \times x - 450 - 10x^{2} - 50x\\&= - 90x - 450 - 10x^{2} - 50x\\&= - 10x^{2} - 90x - 50x - 450\\&= - 10x^{2} + (- 90 - 50) \times x - 450\\&= - 10x^{2} - 140x - 450
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 2x^{2} + 8x + 24$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 2 \times 1^{2} + 8 \times 1 + 24=- 2 \times 1 + 8 + 24=- 2 + 32=30
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 2 \times - 1^{2} + 8 \times - 1 + 24=- 2 \times 1 - 8 + 24=- 2 + 16=14
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: