\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill COLASSI Alexis}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 9}{7} - \dfrac{- 4}{7}$
            \item $B = \dfrac{- 10}{8} - \dfrac{8}{80}$

            \item $C = \dfrac{9}{8} + \dfrac{- 8}{7}$
            \item $D = \dfrac{- 2}{3} + 1$

            \item $E = \dfrac{8}{3} \times \dfrac{- 1}{2}$
            \item $F = \dfrac{1}{8} \times 9$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 9}{7} - \dfrac{- 4}{7}=\dfrac{- 9}{7} + \dfrac{4}{7}=\dfrac{- 9 + 4}{7}=\dfrac{- 5}{7}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{8} - \dfrac{8}{80}=\dfrac{- 10}{8} - \dfrac{8}{80}=\dfrac{- 10 \times 10}{8 \times 10} - \dfrac{8}{80}=\dfrac{- 100}{80} - \dfrac{8}{80}=\dfrac{- 100 - 8}{80}=\dfrac{- 100 - 8}{80}=\dfrac{- 108}{80}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{9}{8} + \dfrac{- 8}{7}=\dfrac{9 \times 7}{8 \times 7} + \dfrac{- 8 \times 8}{7 \times 8}=\dfrac{63}{56} + \dfrac{- 64}{56}=\dfrac{63 - 64}{56}=\dfrac{- 1}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 2}{3} + 1=\dfrac{- 2}{3} + \dfrac{1}{1}=\dfrac{- 2}{3} + \dfrac{1 \times 3}{1 \times 3}=\dfrac{- 2}{3} + \dfrac{3}{3}=\dfrac{- 2 + 3}{3}=\dfrac{1}{3}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{8}{3} \times \dfrac{- 1}{2}=\dfrac{8 \times - 1}{3 \times 2}=\dfrac{- 8}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{1}{8} \times 9=\dfrac{1 \times 9}{8}=\dfrac{9}{8}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (8x + 8)(4x + 8)$
            \item $B = (7x + 4)(5x + 4)$

            \item $C = (- 5x - 5)^{2}$
            \item $D = 5 + x(5x - 5)$

            \item $E = 8x^{2} + x(- 4x + 8)$
            \item $F = 4(x + 5)(x - 5)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (8x + 8)(4x + 8)\\&= 8x \times 4x + 8x \times 8 + 8 \times 4x + 8 \times 8\\&= 8 \times 4 \times x^{1 + 1} + 8 \times 8 \times x + 8 \times 4 \times x + 64\\&= 64x + 32x + 32x^{2} + 64\\&= (64 + 32) \times x + 32x^{2} + 64\\&= 32x^{2} + 96x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (7x + 4)(5x + 4)\\&= 7x \times 5x + 7x \times 4 + 4 \times 5x + 4 \times 4\\&= 7 \times 5 \times x^{1 + 1} + 4 \times 7 \times x + 4 \times 5 \times x + 16\\&= 28x + 20x + 35x^{2} + 16\\&= (28 + 20) \times x + 35x^{2} + 16\\&= 35x^{2} + 48x + 16
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 5x - 5)^{2}\\&= (- 5x - 5)(- 5x - 5)\\&= - 5x \times - 5x - 5x \times - 5 - 5 \times - 5x - 5 \times - 5\\&= - 5 \times - 5 \times x^{1 + 1} - 5 \times - 5 \times x - 5 \times - 5 \times x + 25\\&= 25x + 25x + 25x^{2} + 25\\&= (25 + 25) \times x + 25x^{2} + 25\\&= 25x^{2} + 50x + 25
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= 5 + x(5x - 5)\\&= 5 + x \times 5x + x \times - 5\\&= 5x^{2} - 5x + 5
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 8x^{2} + x(- 4x + 8)\\&= 8x^{2} + x \times - 4x + x \times 8\\&= 8x^{2} - 4x^{2} + 8x\\&= 8x^{2} - 4x^{2} + 8x\\&= (8 - 4) \times x^{2} + 8x\\&= 4x^{2} + 8x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 4(x + 5)(x - 5)\\&= (4x + 4 \times 5)(x - 5)\\&= (4x + 20)(x - 5)\\&= 4x \times x + 4x \times - 5 + 20x + 20 \times - 5\\&= - 5 \times 4 \times x - 100 + 4x^{2} + 20x\\&= - 20x - 100 + 4x^{2} + 20x\\&= 4x^{2} - 20x + 20x - 100\\&= 4x^{2} + (- 20 + 20) \times x - 100\\&= 4x^{2} - 100 + 0x\\&= 4x^{2} - 100
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 9x^{2} + 81x + 72$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 9 \times 1^{2} + 81 \times 1 + 72=9 \times 1 + 81 + 72=9 + 153=162
            \]
            \[ 
                f(-1) = 9 \times - 1^{2} + 81 \times - 1 + 72=9 \times 1 - 81 + 72=9 - 9=0
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: