\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill COUBAT Alexis}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 1}{2} - \dfrac{- 3}{2}$
            \item $B = \dfrac{- 5}{5} - \dfrac{- 7}{30}$

            \item $C = \dfrac{- 1}{4} + \dfrac{3}{3}$
            \item $D = \dfrac{7}{10} - 7$

            \item $E = \dfrac{- 8}{2} \times \dfrac{- 4}{1}$
            \item $F = \dfrac{1}{7} \times 5$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 1}{2} - \dfrac{- 3}{2}=\dfrac{- 1}{2} + \dfrac{3}{2}=\dfrac{- 1 + 3}{2}=\dfrac{2}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 5}{5} - \dfrac{- 7}{30}=\dfrac{- 5}{5} + \dfrac{7}{30}=\dfrac{- 5 \times 6}{5 \times 6} + \dfrac{7}{30}=\dfrac{- 30}{30} + \dfrac{7}{30}=\dfrac{- 30 + 7}{30}=\dfrac{- 23}{30}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 1}{4} + \dfrac{3}{3}=\dfrac{- 1 \times 3}{4 \times 3} + \dfrac{3 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{- 3}{12} + \dfrac{12}{12}=\dfrac{- 3 + 12}{12}=\dfrac{9}{12}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{7}{10} - 7=\dfrac{7}{10} + \dfrac{- 7}{1}=\dfrac{7}{10} + \dfrac{- 7 \times 10}{1 \times 10}=\dfrac{7}{10} + \dfrac{- 70}{10}=\dfrac{7 - 70}{10}=\dfrac{- 63}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 8}{2} \times \dfrac{- 4}{1}=\dfrac{- 8 \times - 4}{2 \times 1}=\dfrac{32}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{1}{7} \times 5=\dfrac{1 \times 5}{7}=\dfrac{5}{7}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (- 2x - 6)(- 4x - 6)$
            \item $B = (- 10x - 3)(- 5x - 3)$

            \item $C = (10x - 7)^{2}$
            \item $D = - 4 + x(10x - 3)$

            \item $E = - 3x^{2} + x(- 1x - 5)$
            \item $F = - 3(x + 2)(x + 8)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (- 2x - 6)(- 4x - 6)\\&= - 2x \times - 4x - 2x \times - 6 - 6 \times - 4x - 6 \times - 6\\&= - 2 \times - 4 \times x^{1 + 1} - 6 \times - 2 \times x - 6 \times - 4 \times x + 36\\&= 12x + 24x + 8x^{2} + 36\\&= (12 + 24) \times x + 8x^{2} + 36\\&= 8x^{2} + 36x + 36
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 10x - 3)(- 5x - 3)\\&= - 10x \times - 5x - 10x \times - 3 - 3 \times - 5x - 3 \times - 3\\&= - 10 \times - 5 \times x^{1 + 1} - 3 \times - 10 \times x - 3 \times - 5 \times x + 9\\&= 30x + 15x + 50x^{2} + 9\\&= (30 + 15) \times x + 50x^{2} + 9\\&= 50x^{2} + 45x + 9
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (10x - 7)^{2}\\&= (10x - 7)(10x - 7)\\&= 10x \times 10x + 10x \times - 7 - 7 \times 10x - 7 \times - 7\\&= 10 \times 10 \times x^{1 + 1} - 7 \times 10 \times x - 7 \times 10 \times x + 49\\&= - 70x - 70x + 100x^{2} + 49\\&= (- 70 - 70) \times x + 100x^{2} + 49\\&= 100x^{2} - 140x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 4 + x(10x - 3)\\&= - 4 + x \times 10x + x \times - 3\\&= 10x^{2} - 3x - 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= - 3x^{2} + x(- 1x - 5)\\&= - 3x^{2} + x \times - x + x \times - 5\\&= - 3x^{2} - x^{2} - 5x\\&= - 3x^{2} - x^{2} - 5x\\&= (- 3 - 1) \times x^{2} - 5x\\&= - 4x^{2} - 5x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 3(x + 2)(x + 8)\\&= (- 3x - 3 \times 2)(x + 8)\\&= (- 3x - 6)(x + 8)\\&= - 3x \times x - 3x \times 8 - 6x - 6 \times 8\\&= 8 \times - 3 \times x - 48 - 3x^{2} - 6x\\&= - 24x - 48 - 3x^{2} - 6x\\&= - 3x^{2} - 24x - 6x - 48\\&= - 3x^{2} + (- 24 - 6) \times x - 48\\&= - 3x^{2} - 30x - 48
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 6x^{2} + 72x - 162$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 6 \times 1^{2} + 72 \times 1 - 162=- 6 \times 1 + 72 - 162=- 6 - 90=- 96
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 6 \times - 1^{2} + 72 \times - 1 - 162=- 6 \times 1 - 72 - 162=- 6 - 234=- 240
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: