\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill FILALI Zakaria}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 2}{6} - \dfrac{2}{6}$
            \item $B = \dfrac{9}{4} - \dfrac{2}{20}$

            \item $C = \dfrac{- 4}{8} + \dfrac{- 6}{7}$
            \item $D = \dfrac{- 7}{6} - 1$

            \item $E = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{1}$
            \item $F = \dfrac{1}{9} \times 4$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 2}{6} - \dfrac{2}{6}=\dfrac{- 2}{6} - \dfrac{2}{6}=\dfrac{- 2 - 2}{6}=\dfrac{- 2 - 2}{6}=\dfrac{- 4}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{9}{4} - \dfrac{2}{20}=\dfrac{9}{4} - \dfrac{2}{20}=\dfrac{9 \times 5}{4 \times 5} - \dfrac{2}{20}=\dfrac{45}{20} - \dfrac{2}{20}=\dfrac{45 - 2}{20}=\dfrac{45 - 2}{20}=\dfrac{43}{20}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 4}{8} + \dfrac{- 6}{7}=\dfrac{- 4 \times 7}{8 \times 7} + \dfrac{- 6 \times 8}{7 \times 8}=\dfrac{- 28}{56} + \dfrac{- 48}{56}=\dfrac{- 28 - 48}{56}=\dfrac{- 76}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 7}{6} - 1=\dfrac{- 7}{6} + \dfrac{- 1}{1}=\dfrac{- 7}{6} + \dfrac{- 1 \times 6}{1 \times 6}=\dfrac{- 7}{6} + \dfrac{- 6}{6}=\dfrac{- 7 - 6}{6}=\dfrac{- 13}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{1}=\dfrac{5 \times 5}{2 \times 1}=\dfrac{25}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{1}{9} \times 4=\dfrac{1 \times 4}{9}=\dfrac{4}{9}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (8x + 2)(- 8x + 2)$
            \item $B = (- 5x - 8)(9x - 8)$

            \item $C = (- 1x - 1)^{2}$
            \item $D = - 7 + x(7x + 7)$

            \item $E = 5x^{2} + x(- 6x + 8)$
            \item $F = - 10(x + 5)(x - 10)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (8x + 2)(- 8x + 2)\\&= 8x \times - 8x + 8x \times 2 + 2 \times - 8x + 2 \times 2\\&= 8 \times - 8 \times x^{1 + 1} + 2 \times 8 \times x + 2 \times - 8 \times x + 4\\&= 16x - 16x - 64x^{2} + 4\\&= (16 - 16) \times x - 64x^{2} + 4\\&= 0x - 64x^{2} + 4\\&= - 64x^{2} + 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 5x - 8)(9x - 8)\\&= - 5x \times 9x - 5x \times - 8 - 8 \times 9x - 8 \times - 8\\&= - 5 \times 9 \times x^{1 + 1} - 8 \times - 5 \times x - 8 \times 9 \times x + 64\\&= 40x - 72x - 45x^{2} + 64\\&= (40 - 72) \times x - 45x^{2} + 64\\&= - 45x^{2} - 32x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 1x - 1)^{2}\\&= (- x - 1)(- x - 1)\\&= - x \times - x - x \times - 1 - 1 \times - x - 1 \times - 1\\&= - 1 \times - 1 \times x^{1 + 1} - 1 \times - 1 \times x - 1 \times - 1 \times x + 1\\&= x^{2} + 2x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 7 + x(7x + 7)\\&= - 7 + x \times 7x + x \times 7\\&= 7x^{2} + 7x - 7
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 5x^{2} + x(- 6x + 8)\\&= 5x^{2} + x \times - 6x + x \times 8\\&= 5x^{2} - 6x^{2} + 8x\\&= 5x^{2} - 6x^{2} + 8x\\&= (5 - 6) \times x^{2} + 8x\\&= - x^{2} + 8x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 10(x + 5)(x - 10)\\&= (- 10x - 10 \times 5)(x - 10)\\&= (- 10x - 50)(x - 10)\\&= - 10x \times x - 10x \times - 10 - 50x - 50 \times - 10\\&= - 10 \times - 10 \times x + 500 - 10x^{2} - 50x\\&= 100x + 500 - 10x^{2} - 50x\\&= - 10x^{2} + 100x - 50x + 500\\&= - 10x^{2} + (100 - 50) \times x + 500\\&= - 10x^{2} + 50x + 500
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 3x^{2} - 45x - 168$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 3 \times 1^{2} - 45 \times 1 - 168=- 3 \times 1 - 45 - 168=- 3 - 213=- 216
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 3 \times - 1^{2} - 45 \times - 1 - 168=- 3 \times 1 + 45 - 168=- 3 - 123=- 126
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: