\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill FOIGNY Romain}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 6}{8} - \dfrac{2}{8}$
            \item $B = \dfrac{- 4}{6} - \dfrac{10}{60}$

            \item $C = \dfrac{8}{10} + \dfrac{- 3}{9}$
            \item $D = \dfrac{6}{7} - 1$

            \item $E = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{6}{3}$
            \item $F = \dfrac{- 3}{5} \times - 8$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 6}{8} - \dfrac{2}{8}=\dfrac{- 6}{8} - \dfrac{2}{8}=\dfrac{- 6 - 2}{8}=\dfrac{- 6 - 2}{8}=\dfrac{- 8}{8}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 4}{6} - \dfrac{10}{60}=\dfrac{- 4}{6} - \dfrac{10}{60}=\dfrac{- 4 \times 10}{6 \times 10} - \dfrac{10}{60}=\dfrac{- 40}{60} - \dfrac{10}{60}=\dfrac{- 40 - 10}{60}=\dfrac{- 40 - 10}{60}=\dfrac{- 50}{60}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{8}{10} + \dfrac{- 3}{9}=\dfrac{8 \times 9}{10 \times 9} + \dfrac{- 3 \times 10}{9 \times 10}=\dfrac{72}{90} + \dfrac{- 30}{90}=\dfrac{72 - 30}{90}=\dfrac{42}{90}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{6}{7} - 1=\dfrac{6}{7} + \dfrac{- 1}{1}=\dfrac{6}{7} + \dfrac{- 1 \times 7}{1 \times 7}=\dfrac{6}{7} + \dfrac{- 7}{7}=\dfrac{6 - 7}{7}=\dfrac{- 1}{7}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{7}{4} \times \dfrac{6}{3}=\dfrac{7 \times 6}{4 \times 3}=\dfrac{42}{12}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{5} \times - 8=\dfrac{- 3 \times - 8}{5}=\dfrac{24}{5}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (5x + 10)(- 1x + 10)$
            \item $B = (- 7x + 9)(5x + 9)$

            \item $C = (- 7x - 10)^{2}$
            \item $D = - 9 + x(- 1x - 2)$

            \item $E = - 4x^{2} + x(- 5x + 5)$
            \item $F = 5(x + 10)(x + 9)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (5x + 10)(- 1x + 10)\\&= 5x \times - x + 5x \times 10 + 10 \times - x + 10 \times 10\\&= 5 \times - 1 \times x^{1 + 1} + 10 \times 5 \times x + 10 \times - 1 \times x + 100\\&= 50x - 10x - 5x^{2} + 100\\&= (50 - 10) \times x - 5x^{2} + 100\\&= - 5x^{2} + 40x + 100
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 7x + 9)(5x + 9)\\&= - 7x \times 5x - 7x \times 9 + 9 \times 5x + 9 \times 9\\&= - 7 \times 5 \times x^{1 + 1} + 9 \times - 7 \times x + 9 \times 5 \times x + 81\\&= - 63x + 45x - 35x^{2} + 81\\&= (- 63 + 45) \times x - 35x^{2} + 81\\&= - 35x^{2} - 18x + 81
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 7x - 10)^{2}\\&= (- 7x - 10)(- 7x - 10)\\&= - 7x \times - 7x - 7x \times - 10 - 10 \times - 7x - 10 \times - 10\\&= - 7 \times - 7 \times x^{1 + 1} - 10 \times - 7 \times x - 10 \times - 7 \times x + 100\\&= 70x + 70x + 49x^{2} + 100\\&= (70 + 70) \times x + 49x^{2} + 100\\&= 49x^{2} + 140x + 100
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 9 + x(- 1x - 2)\\&= - 9 + x \times - x + x \times - 2\\&= - x^{2} - 2x - 9
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= - 4x^{2} + x(- 5x + 5)\\&= - 4x^{2} + x \times - 5x + x \times 5\\&= - 4x^{2} - 5x^{2} + 5x\\&= - 4x^{2} - 5x^{2} + 5x\\&= (- 4 - 5) \times x^{2} + 5x\\&= - 9x^{2} + 5x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 5(x + 10)(x + 9)\\&= (5x + 5 \times 10)(x + 9)\\&= (5x + 50)(x + 9)\\&= 5x \times x + 5x \times 9 + 50x + 50 \times 9\\&= 9 \times 5 \times x + 450 + 5x^{2} + 50x\\&= 45x + 450 + 5x^{2} + 50x\\&= 5x^{2} + 45x + 50x + 450\\&= 5x^{2} + (45 + 50) \times x + 450\\&= 5x^{2} + 95x + 450
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 7x^{2} - 56x - 63$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 7 \times 1^{2} - 56 \times 1 - 63=7 \times 1 - 56 - 63=7 - 119=- 112
            \]
            \[ 
                f(-1) = 7 \times - 1^{2} - 56 \times - 1 - 63=7 \times 1 + 56 - 63=7 - 7=0
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: