\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill MOUFAQ Amine}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{10}{2} - \dfrac{4}{2}$
            \item $B = \dfrac{- 7}{3} - \dfrac{5}{15}$

            \item $C = \dfrac{- 10}{6} + \dfrac{5}{5}$
            \item $D = \dfrac{- 10}{9} + 10$

            \item $E = \dfrac{4}{2} \times \dfrac{- 3}{1}$
            \item $F = \dfrac{- 10}{3} \times 10$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{10}{2} - \dfrac{4}{2}=\dfrac{10}{2} - \dfrac{4}{2}=\dfrac{10 - 4}{2}=\dfrac{10 - 4}{2}=\dfrac{6}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 7}{3} - \dfrac{5}{15}=\dfrac{- 7}{3} - \dfrac{5}{15}=\dfrac{- 7 \times 5}{3 \times 5} - \dfrac{5}{15}=\dfrac{- 35}{15} - \dfrac{5}{15}=\dfrac{- 35 - 5}{15}=\dfrac{- 35 - 5}{15}=\dfrac{- 40}{15}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{6} + \dfrac{5}{5}=\dfrac{- 10 \times 5}{6 \times 5} + \dfrac{5 \times 6}{5 \times 6}=\dfrac{- 50}{30} + \dfrac{30}{30}=\dfrac{- 50 + 30}{30}=\dfrac{- 20}{30}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{9} + 10=\dfrac{- 10}{9} + \dfrac{10}{1}=\dfrac{- 10}{9} + \dfrac{10 \times 9}{1 \times 9}=\dfrac{- 10}{9} + \dfrac{90}{9}=\dfrac{- 10 + 90}{9}=\dfrac{80}{9}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{4}{2} \times \dfrac{- 3}{1}=\dfrac{4 \times - 3}{2 \times 1}=\dfrac{- 12}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{3} \times 10=\dfrac{- 10 \times 10}{3}=\dfrac{- 100}{3}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (- 9x + 2)(- 8x + 2)$
            \item $B = (- 7x - 7)(- 8x - 7)$

            \item $C = (2x - 8)^{2}$
            \item $D = - 6 + x(5x - 3)$

            \item $E = 8x^{2} + x(- 4x - 7)$
            \item $F = 5(x - 4)(x + 2)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (- 9x + 2)(- 8x + 2)\\&= - 9x \times - 8x - 9x \times 2 + 2 \times - 8x + 2 \times 2\\&= - 9 \times - 8 \times x^{1 + 1} + 2 \times - 9 \times x + 2 \times - 8 \times x + 4\\&= - 18x - 16x + 72x^{2} + 4\\&= (- 18 - 16) \times x + 72x^{2} + 4\\&= 72x^{2} - 34x + 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 7x - 7)(- 8x - 7)\\&= - 7x \times - 8x - 7x \times - 7 - 7 \times - 8x - 7 \times - 7\\&= - 7 \times - 8 \times x^{1 + 1} - 7 \times - 7 \times x - 7 \times - 8 \times x + 49\\&= 49x + 56x + 56x^{2} + 49\\&= (49 + 56) \times x + 56x^{2} + 49\\&= 56x^{2} + 105x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (2x - 8)^{2}\\&= (2x - 8)(2x - 8)\\&= 2x \times 2x + 2x \times - 8 - 8 \times 2x - 8 \times - 8\\&= 2 \times 2 \times x^{1 + 1} - 8 \times 2 \times x - 8 \times 2 \times x + 64\\&= - 16x - 16x + 4x^{2} + 64\\&= (- 16 - 16) \times x + 4x^{2} + 64\\&= 4x^{2} - 32x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 6 + x(5x - 3)\\&= - 6 + x \times 5x + x \times - 3\\&= 5x^{2} - 3x - 6
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 8x^{2} + x(- 4x - 7)\\&= 8x^{2} + x \times - 4x + x \times - 7\\&= 8x^{2} - 4x^{2} - 7x\\&= 8x^{2} - 4x^{2} - 7x\\&= (8 - 4) \times x^{2} - 7x\\&= 4x^{2} - 7x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 5(x - 4)(x + 2)\\&= (5x + 5 \times - 4)(x + 2)\\&= (5x - 20)(x + 2)\\&= 5x \times x + 5x \times 2 - 20x - 20 \times 2\\&= 2 \times 5 \times x - 40 + 5x^{2} - 20x\\&= 10x - 40 + 5x^{2} - 20x\\&= 5x^{2} + 10x - 20x - 40\\&= 5x^{2} + (10 - 20) \times x - 40\\&= 5x^{2} - 10x - 40
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 9x^{2} + 90x - 216$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 9 \times 1^{2} + 90 \times 1 - 216=- 9 \times 1 + 90 - 216=- 9 - 126=- 135
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 9 \times - 1^{2} + 90 \times - 1 - 216=- 9 \times 1 - 90 - 216=- 9 - 306=- 315
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: