\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill ASAIDI Sophian}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 4}{10} - \dfrac{- 2}{10}$
            \item $B = \dfrac{- 10}{8} - \dfrac{6}{40}$

            \item $C = \dfrac{3}{8} + \dfrac{- 5}{7}$
            \item $D = \dfrac{- 6}{9} - 1$

            \item $E = \dfrac{9}{10} \times \dfrac{10}{9}$
            \item $F = \dfrac{7}{2} \times - 10$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 4}{10} - \dfrac{- 2}{10}=\dfrac{- 4}{10} + \dfrac{2}{10}=\dfrac{- 4 + 2}{10}=\dfrac{- 2}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{8} - \dfrac{6}{40}=\dfrac{- 10}{8} - \dfrac{6}{40}=\dfrac{- 10 \times 5}{8 \times 5} - \dfrac{6}{40}=\dfrac{- 50}{40} - \dfrac{6}{40}=\dfrac{- 50 - 6}{40}=\dfrac{- 50 - 6}{40}=\dfrac{- 56}{40}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{3}{8} + \dfrac{- 5}{7}=\dfrac{3 \times 7}{8 \times 7} + \dfrac{- 5 \times 8}{7 \times 8}=\dfrac{21}{56} + \dfrac{- 40}{56}=\dfrac{21 - 40}{56}=\dfrac{- 19}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 6}{9} - 1=\dfrac{- 6}{9} + \dfrac{- 1}{1}=\dfrac{- 6}{9} + \dfrac{- 1 \times 9}{1 \times 9}=\dfrac{- 6}{9} + \dfrac{- 9}{9}=\dfrac{- 6 - 9}{9}=\dfrac{- 15}{9}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{9}{10} \times \dfrac{10}{9}=\dfrac{9 \times 10}{10 \times 9}=\dfrac{90}{90}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{7}{2} \times - 10=\dfrac{7 \times - 10}{2}=\dfrac{- 70}{2}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (4x + 9)(3x + 9)$
            \item $B = (- 6x + 2)(10x + 2)$

            \item $C = (2x + 1)^{2}$
            \item $D = - 3 + x(9x - 5)$

            \item $E = 8x^{2} + x(5x + 6)$
            \item $F = - 6(x - 10)(x + 4)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (4x + 9)(3x + 9)\\&= 4x \times 3x + 4x \times 9 + 9 \times 3x + 9 \times 9\\&= 4 \times 3 \times x^{1 + 1} + 9 \times 4 \times x + 9 \times 3 \times x + 81\\&= 36x + 27x + 12x^{2} + 81\\&= (36 + 27) \times x + 12x^{2} + 81\\&= 12x^{2} + 63x + 81
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 6x + 2)(10x + 2)\\&= - 6x \times 10x - 6x \times 2 + 2 \times 10x + 2 \times 2\\&= - 6 \times 10 \times x^{1 + 1} + 2 \times - 6 \times x + 2 \times 10 \times x + 4\\&= - 12x + 20x - 60x^{2} + 4\\&= (- 12 + 20) \times x - 60x^{2} + 4\\&= - 60x^{2} + 8x + 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (2x + 1)^{2}\\&= (2x + 1)(2x + 1)\\&= 2x \times 2x + 2x \times 1 + 1 \times 2x + 1 \times 1\\&= 2 \times 2 \times x^{1 + 1} + 2x + 2x + 1\\&= 4x^{2} + 2x + 2x + 1\\&= 4x^{2} + (2 + 2) \times x + 1\\&= 4x^{2} + 4x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 3 + x(9x - 5)\\&= - 3 + x \times 9x + x \times - 5\\&= 9x^{2} - 5x - 3
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 8x^{2} + x(5x + 6)\\&= 8x^{2} + x \times 5x + x \times 6\\&= 8x^{2} + 5x^{2} + 6x\\&= 8x^{2} + 5x^{2} + 6x\\&= (8 + 5) \times x^{2} + 6x\\&= 13x^{2} + 6x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 6(x - 10)(x + 4)\\&= (- 6x - 6 \times - 10)(x + 4)\\&= (- 6x + 60)(x + 4)\\&= - 6x \times x - 6x \times 4 + 60x + 60 \times 4\\&= 4 \times - 6 \times x + 240 - 6x^{2} + 60x\\&= - 24x + 240 - 6x^{2} + 60x\\&= - 6x^{2} - 24x + 60x + 240\\&= - 6x^{2} + (- 24 + 60) \times x + 240\\&= - 6x^{2} + 36x + 240
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 9x^{2} + 27x + 162$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 9 \times 1^{2} + 27 \times 1 + 162=- 9 \times 1 + 27 + 162=- 9 + 189=180
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 9 \times - 1^{2} + 27 \times - 1 + 162=- 9 \times 1 - 27 + 162=- 9 + 135=126
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



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\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: