\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill HENRIST Maxime}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 6}{7} - \dfrac{- 5}{7}$
            \item $B = \dfrac{- 3}{2} - \dfrac{3}{12}$

            \item $C = \dfrac{- 7}{4} + \dfrac{- 6}{3}$
            \item $D = \dfrac{5}{5} + 9$

            \item $E = \dfrac{- 9}{3} \times \dfrac{8}{2}$
            \item $F = \dfrac{- 6}{10} \times - 1$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 6}{7} - \dfrac{- 5}{7}=\dfrac{- 6}{7} + \dfrac{5}{7}=\dfrac{- 6 + 5}{7}=\dfrac{- 1}{7}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{2} - \dfrac{3}{12}=\dfrac{- 3}{2} - \dfrac{3}{12}=\dfrac{- 3 \times 6}{2 \times 6} - \dfrac{3}{12}=\dfrac{- 18}{12} - \dfrac{3}{12}=\dfrac{- 18 - 3}{12}=\dfrac{- 18 - 3}{12}=\dfrac{- 21}{12}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 7}{4} + \dfrac{- 6}{3}=\dfrac{- 7 \times 3}{4 \times 3} + \dfrac{- 6 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{- 21}{12} + \dfrac{- 24}{12}=\dfrac{- 21 - 24}{12}=\dfrac{- 45}{12}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{5}{5} + 9=\dfrac{5}{5} + \dfrac{9}{1}=\dfrac{5}{5} + \dfrac{9 \times 5}{1 \times 5}=\dfrac{5}{5} + \dfrac{45}{5}=\dfrac{5 + 45}{5}=\dfrac{50}{5}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 9}{3} \times \dfrac{8}{2}=\dfrac{- 9 \times 8}{3 \times 2}=\dfrac{- 72}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 6}{10} \times - 1=\dfrac{- 6 \times - 1}{10}=\dfrac{6}{10}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (5x + 1)(2x + 1)$
            \item $B = (- 4x + 8)(- 7x + 8)$

            \item $C = (- 9x + 1)^{2}$
            \item $D = 8 + x(- 8x + 7)$

            \item $E = 3x^{2} + x(4x + 1)$
            \item $F = - 8(x - 2)(x - 9)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (5x + 1)(2x + 1)\\&= 5x \times 2x + 5x \times 1 + 1 \times 2x + 1 \times 1\\&= 5 \times 2 \times x^{1 + 1} + 5x + 2x + 1\\&= 10x^{2} + 5x + 2x + 1\\&= 10x^{2} + (5 + 2) \times x + 1\\&= 10x^{2} + 7x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 4x + 8)(- 7x + 8)\\&= - 4x \times - 7x - 4x \times 8 + 8 \times - 7x + 8 \times 8\\&= - 4 \times - 7 \times x^{1 + 1} + 8 \times - 4 \times x + 8 \times - 7 \times x + 64\\&= - 32x - 56x + 28x^{2} + 64\\&= (- 32 - 56) \times x + 28x^{2} + 64\\&= 28x^{2} - 88x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 9x + 1)^{2}\\&= (- 9x + 1)(- 9x + 1)\\&= - 9x \times - 9x - 9x \times 1 + 1 \times - 9x + 1 \times 1\\&= - 9 \times - 9 \times x^{1 + 1} - 9x - 9x + 1\\&= 81x^{2} - 9x - 9x + 1\\&= 81x^{2} + (- 9 - 9) \times x + 1\\&= 81x^{2} - 18x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= 8 + x(- 8x + 7)\\&= 8 + x \times - 8x + x \times 7\\&= - 8x^{2} + 7x + 8
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 3x^{2} + x(4x + 1)\\&= 3x^{2} + x \times 4x + x \times 1\\&= 3x^{2} + 4x^{2} + x\\&= 3x^{2} + 4x^{2} + x\\&= (3 + 4) \times x^{2} + x\\&= 7x^{2} + x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 8(x - 2)(x - 9)\\&= (- 8x - 8 \times - 2)(x - 9)\\&= (- 8x + 16)(x - 9)\\&= - 8x \times x - 8x \times - 9 + 16x + 16 \times - 9\\&= - 9 \times - 8 \times x - 144 - 8x^{2} + 16x\\&= 72x - 144 - 8x^{2} + 16x\\&= - 8x^{2} + 72x + 16x - 144\\&= - 8x^{2} + (72 + 16) \times x - 144\\&= - 8x^{2} + 88x - 144
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 8x^{2} - 48x + 216$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 8 \times 1^{2} - 48 \times 1 + 216=- 8 \times 1 - 48 + 216=- 8 + 168=160
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 8 \times - 1^{2} - 48 \times - 1 + 216=- 8 \times 1 + 48 + 216=- 8 + 264=256
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: