\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill MORFIN Chloé}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 4}{10} - \dfrac{- 6}{10}$
            \item $B = \dfrac{- 3}{4} - \dfrac{- 2}{12}$

            \item $C = \dfrac{10}{3} + \dfrac{6}{2}$
            \item $D = \dfrac{- 6}{6} + 2$

            \item $E = \dfrac{- 8}{10} \times \dfrac{7}{9}$
            \item $F = \dfrac{- 2}{3} \times - 6$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 4}{10} - \dfrac{- 6}{10}=\dfrac{- 4}{10} + \dfrac{6}{10}=\dfrac{- 4 + 6}{10}=\dfrac{2}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{4} - \dfrac{- 2}{12}=\dfrac{- 3}{4} + \dfrac{2}{12}=\dfrac{- 3 \times 3}{4 \times 3} + \dfrac{2}{12}=\dfrac{- 9}{12} + \dfrac{2}{12}=\dfrac{- 9 + 2}{12}=\dfrac{- 7}{12}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{10}{3} + \dfrac{6}{2}=\dfrac{10 \times 2}{3 \times 2} + \dfrac{6 \times 3}{2 \times 3}=\dfrac{20}{6} + \dfrac{18}{6}=\dfrac{20 + 18}{6}=\dfrac{38}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 6}{6} + 2=\dfrac{- 6}{6} + \dfrac{2}{1}=\dfrac{- 6}{6} + \dfrac{2 \times 6}{1 \times 6}=\dfrac{- 6}{6} + \dfrac{12}{6}=\dfrac{- 6 + 12}{6}=\dfrac{6}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 8}{10} \times \dfrac{7}{9}=\dfrac{- 8 \times 7}{10 \times 9}=\dfrac{- 56}{90}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 2}{3} \times - 6=\dfrac{- 2 \times - 6}{3}=\dfrac{12}{3}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (8x - 1)(8x - 1)$
            \item $B = (- 2x + 3)(- 1x + 3)$

            \item $C = (2x + 3)^{2}$
            \item $D = - 9 + x(- 8x - 6)$

            \item $E = - 6x^{2} + x(5x - 1)$
            \item $F = 9(x - 3)(x + 5)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (8x - 1)(8x - 1)\\&= 8x \times 8x + 8x \times - 1 - 1 \times 8x - 1 \times - 1\\&= 8 \times 8 \times x^{1 + 1} - 1 \times 8 \times x - 1 \times 8 \times x + 1\\&= - 8x - 8x + 64x^{2} + 1\\&= (- 8 - 8) \times x + 64x^{2} + 1\\&= 64x^{2} - 16x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 2x + 3)(- 1x + 3)\\&= - 2x \times - x - 2x \times 3 + 3 \times - x + 3 \times 3\\&= - 2 \times - 1 \times x^{1 + 1} + 3 \times - 2 \times x + 3 \times - 1 \times x + 9\\&= - 6x - 3x + 2x^{2} + 9\\&= (- 6 - 3) \times x + 2x^{2} + 9\\&= 2x^{2} - 9x + 9
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (2x + 3)^{2}\\&= (2x + 3)(2x + 3)\\&= 2x \times 2x + 2x \times 3 + 3 \times 2x + 3 \times 3\\&= 2 \times 2 \times x^{1 + 1} + 3 \times 2 \times x + 3 \times 2 \times x + 9\\&= 6x + 6x + 4x^{2} + 9\\&= (6 + 6) \times x + 4x^{2} + 9\\&= 4x^{2} + 12x + 9
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 9 + x(- 8x - 6)\\&= - 9 + x \times - 8x + x \times - 6\\&= - 8x^{2} - 6x - 9
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= - 6x^{2} + x(5x - 1)\\&= - 6x^{2} + x \times 5x + x \times - 1\\&= - 6x^{2} + 5x^{2} - x\\&= - 6x^{2} + 5x^{2} - x\\&= (- 6 + 5) \times x^{2} - x\\&= - x^{2} - x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 9(x - 3)(x + 5)\\&= (9x + 9 \times - 3)(x + 5)\\&= (9x - 27)(x + 5)\\&= 9x \times x + 9x \times 5 - 27x - 27 \times 5\\&= 5 \times 9 \times x - 135 + 9x^{2} - 27x\\&= 45x - 135 + 9x^{2} - 27x\\&= 9x^{2} + 45x - 27x - 135\\&= 9x^{2} + (45 - 27) \times x - 135\\&= 9x^{2} + 18x - 135
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 4x^{2} - 36x + 56$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 4 \times 1^{2} - 36 \times 1 + 56=4 \times 1 - 36 + 56=4 + 20=24
            \]
            \[ 
                f(-1) = 4 \times - 1^{2} - 36 \times - 1 + 56=4 \times 1 + 36 + 56=4 + 92=96
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: