\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill ZENAGUI Yanis}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 5}{5} - \dfrac{3}{5}$
            \item $B = \dfrac{- 10}{8} - \dfrac{7}{24}$

            \item $C = \dfrac{10}{9} + \dfrac{10}{8}$
            \item $D = \dfrac{1}{10} - 6$

            \item $E = \dfrac{5}{9} \times \dfrac{- 5}{8}$
            \item $F = \dfrac{- 3}{3} \times - 9$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 5}{5} - \dfrac{3}{5}=\dfrac{- 5}{5} - \dfrac{3}{5}=\dfrac{- 5 - 3}{5}=\dfrac{- 5 - 3}{5}=\dfrac{- 8}{5}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{8} - \dfrac{7}{24}=\dfrac{- 10}{8} - \dfrac{7}{24}=\dfrac{- 10 \times 3}{8 \times 3} - \dfrac{7}{24}=\dfrac{- 30}{24} - \dfrac{7}{24}=\dfrac{- 30 - 7}{24}=\dfrac{- 30 - 7}{24}=\dfrac{- 37}{24}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{10}{9} + \dfrac{10}{8}=\dfrac{10 \times 8}{9 \times 8} + \dfrac{10 \times 9}{8 \times 9}=\dfrac{80}{72} + \dfrac{90}{72}=\dfrac{80 + 90}{72}=\dfrac{170}{72}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{1}{10} - 6=\dfrac{1}{10} + \dfrac{- 6}{1}=\dfrac{1}{10} + \dfrac{- 6 \times 10}{1 \times 10}=\dfrac{1}{10} + \dfrac{- 60}{10}=\dfrac{1 - 60}{10}=\dfrac{- 59}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{5}{9} \times \dfrac{- 5}{8}=\dfrac{5 \times - 5}{9 \times 8}=\dfrac{- 25}{72}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{3} \times - 9=\dfrac{- 3 \times - 9}{3}=\dfrac{27}{3}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (10x - 6)(1x - 6)$
            \item $B = (- 10x + 8)(- 8x + 8)$

            \item $C = (8x + 2)^{2}$
            \item $D = 8 + x(- 5x + 5)$

            \item $E = 4x^{2} + x(7x + 10)$
            \item $F = 8(x - 7)(x + 8)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (10x - 6)(1x - 6)\\&= 10x \times x + 10x \times - 6 - 6x - 6 \times - 6\\&= - 6 \times 10 \times x + 36 + 10x^{2} - 6x\\&= - 60x + 36 + 10x^{2} - 6x\\&= 10x^{2} - 60x - 6x + 36\\&= 10x^{2} + (- 60 - 6) \times x + 36\\&= 10x^{2} - 66x + 36
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 10x + 8)(- 8x + 8)\\&= - 10x \times - 8x - 10x \times 8 + 8 \times - 8x + 8 \times 8\\&= - 10 \times - 8 \times x^{1 + 1} + 8 \times - 10 \times x + 8 \times - 8 \times x + 64\\&= - 80x - 64x + 80x^{2} + 64\\&= (- 80 - 64) \times x + 80x^{2} + 64\\&= 80x^{2} - 144x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (8x + 2)^{2}\\&= (8x + 2)(8x + 2)\\&= 8x \times 8x + 8x \times 2 + 2 \times 8x + 2 \times 2\\&= 8 \times 8 \times x^{1 + 1} + 2 \times 8 \times x + 2 \times 8 \times x + 4\\&= 16x + 16x + 64x^{2} + 4\\&= (16 + 16) \times x + 64x^{2} + 4\\&= 64x^{2} + 32x + 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= 8 + x(- 5x + 5)\\&= 8 + x \times - 5x + x \times 5\\&= - 5x^{2} + 5x + 8
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 4x^{2} + x(7x + 10)\\&= 4x^{2} + x \times 7x + x \times 10\\&= 4x^{2} + 7x^{2} + 10x\\&= 4x^{2} + 7x^{2} + 10x\\&= (4 + 7) \times x^{2} + 10x\\&= 11x^{2} + 10x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 8(x - 7)(x + 8)\\&= (8x + 8 \times - 7)(x + 8)\\&= (8x - 56)(x + 8)\\&= 8x \times x + 8x \times 8 - 56x - 56 \times 8\\&= 8 \times 8 \times x - 448 + 8x^{2} - 56x\\&= 64x - 448 + 8x^{2} - 56x\\&= 8x^{2} + 64x - 56x - 448\\&= 8x^{2} + (64 - 56) \times x - 448\\&= 8x^{2} + 8x - 448
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - x^{2} + 100$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 1 \times 1^{2} + 100=- 1 \times 1 + 100=- 1 + 100=99
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 1 \times - 1^{2} + 100=- 1 \times 1 + 100=- 1 + 100=99
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: