\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Complexes - Cours}
\date{septembre 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Forme algébrique}

\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
    Les nombres complexes sont les nombres qui s'écrivent de manière unique sous la forme 
    \[a+ib\]
    où $a$ et $b$ sont deux nombres réels et $i$ tel que $i^2=1$.

    Cette forme des nombres complexes est appelée \textbf{forme algébrique}.

    $a$ est la partie \textbf{réelle} et $b$ la partie \textbf{imaginaire} du nombre complexe.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[yscale=.8, xscale=.8]
        \repereNoGrid{-1}{4}{-1}{4}
        \draw (0,0) -- (3,3) node [above right] {$M(a+ib)$};
        \draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
        \draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);
    \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{bclogo}

\paragraph{Exemples:} soient $z = 2i+1$ et $z'=-i+2$ deux nombres complexes. Calculer
\begin{multicols}{3}
    $zz' = $

    $z+z' = $

    $\dfrac{z}{z'} = $
\end{multicols}
\afaire{}

\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriété}
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \begin{itemize}
            \item Le \textbf{conjugué} d'un nombre complexe $z = a+ib$ est
                \[
                    \bar{z} = a - ib
                \]
            \item La \textbf{norme } d'un nombre complexe $z = a+ib$ est
                \[
                    |z| = \sqrt{z\times \bar{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}
                \]
        \end{itemize}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=.5]
            \repereNoGrid{-4}{4}{-4}{4}
            \draw (0,0) -- (3,3) node [above right] {$z = a+ib$};
            \draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
            \draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{bclogo}

\paragraph{Exemples:} en reprenant les notations de l'exemple précédent, calculer

\begin{multicols}{2}
    $\bar{z} = $

    $|z| = $
\end{multicols}
\afaire{}

\paragraph{Remarque} en physique le nombre complexe $i$ est noté $j$. Ainsi les nombres complexes sont de la forme
\[
    z = a + jb
\]
\end{document}