\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Limites de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=0,ymax=10,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**2}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=x^2$}
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1]
        \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
        ymin=-10,ymax=10,ystep=2]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**3}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](1,-2){$f(x)=x^3$}
    \end{tikzpicture}

    \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=0,ymax=5,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{exp(x)}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](2,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.5]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
        ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{log(x)}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](2,2){$f(x)=\ln(x)$}
    \end{tikzpicture}

    \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=1]
        \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
        ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -2:8, line width=1pt]{1 - exp(-x)}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](1,1.5){$f(x)=1-e^{-x}$}
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x}
        \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](-2,2){$f(x)=\frac{1}{x}$}
    \end{tikzpicture}

    \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=-1,ymax=10,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x**2}
        \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x**2}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](3,3){$f(x)=\frac{1}{x^2}$}
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=.8]
        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
        ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{cos(x)}
        \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=\cos{x}$}
    \end{tikzpicture}

    À l'aide des graphiques ci-dessus, déterminer graphiquement les quantités suivantes

    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2 = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} e^x = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 1-e^{-x} = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 1-e^{-x} = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = $
                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x} = $
                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x} = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x^2} = $
                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x^2} = $
                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x^2} = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = $
                \end{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \cos(x) = $
                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \cos(x) = $
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Découverte des limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
    Cet exercice se réaliser avec Géogebra. Son but est de déterminer deux règles pour calculer les limites de polynômes.
    \begin{enumerate}
        \item Limites de fonctions du type $x^n$ où $n$ est un entier non nul.
            \begin{enumerate}
                \item Régler les curseurs a, b, c, d, e et f pour obtenir le graphique de la fonction $P(x) = x$. Noter les limites en $-\infty$ et en $+\infty$.
                \item Réaliser le même travail pour les fonctions $x^2$, $x^3$, $x^4$ et $x^5$.
                \item Conjecturer les limites du tableau suivant:

                    \begin{center}
                        \begin{tabular}{|l|*{2}{c|}}
                            \hline
                            $\ds \lim_{x\rightarrow ...} x^n = $ & $n$ paire & $n$ impaire\\
                            \hline
                            $+\infty$ & & \\
                            \hline
                            $-\infty$ & & \\
                            \hline
                        \end{tabular}
                    \end{center}
            \end{enumerate}
        \item Simplification des limites des polynôme.
            \begin{enumerate}
                \item Régler les curseurs pour faire apparaitre la fonction $P(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
                \item Déplacer les curseurs b, c, d, e et f. Est-ce que ces curseurs ont un impact sur les limites en $+\infty$? en $-\infty$?
                \item Proposer une façon de simplifier les calculs de limites.
                \item Faire varier le curseur a, quel est son impact sur les limites?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
    Calculer les limites suites
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -4x^2 + 3x + 1 = $

            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -4x^2 + 100 x - 4 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 4x^3 - 3x + 100 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -7x^5 + 6x + 0.7 = $

            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 - 3x^3 + 19 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -0.1x^11 + x + 1 = $
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-1}{2}x^5 + 3x + 1 = $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limites avec polynômes et exponentielle}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
    Calculer les limites suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 3e^x$
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -5e^x$
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2e^x + x + 1$

                \columnbreak

            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 e^x$
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (-3x + 1)e^x$
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (x^5 + 3x^2 + 5x) e^x$

                \columnbreak

            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x}{e^x}$
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{5x^2 + 4x + 1}{e^x}$
            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-2x}{e^x} + 1$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Taux de $CO_2$}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
    On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~690] est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle 

    \[ y' + 0, 01y = 4,5\] 

    \begin{enumerate}
        \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$. 
        \item Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$. 
        \item Déterminer la limite de $V(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
    Dans cet exercice, on s'intéresse aux batteries des voitures électriques. La charge (énergie restituable) est exprimée en kilowattheure.

    Conformément à l'usage commercial, on appelle capacité la charge complète d'une batterie.

    On dispose des renseignements suivants :

    \framebox{%
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
        \textbf{Document 1:\\ Caractéristiques des bornes de recharge}

        {\small
        \begin{tabular}{|*{3}{p{1.3cm}|}}
            \hline
            Recharge & Tension (V) & Intensité (A)\\
            \hline
            Normal & 230 & 16 \\
            \hline
            Semi-rapide & 400 & 16\\
            \hline
            Rapide & 400 & 63\\
            \hline
        \end{tabular}
    }
    \end{minipage}}
    \hfill
    \framebox{%
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \textbf{Document 2: \\
    Exemple de capacités de batterie}

        {\small
            \begin{itemize}
                \item Marque A: 22kWh
                \item Marque B: 24kWh
                \item Marque C: 33kWh
                \item Marque D: 60kWh
            \end{itemize}
    }
    \end{minipage}}
    \hfill
    \framebox{%
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
        \textbf{Document 3: \\Bon à savoir pour une batterie vide}

        {\small
            Après 50\% de temps de charge complète, la batterie est à environ 80\% de sa capacité de charge
    }
    \end{minipage}}


    \begin{enumerate}
        \item La puissance de charge P d'une borne de recharge, exprimée en Watt (W), s'obtient en multipliant sa tension U, exprimée en Volt (V), par son intensité I, exprimée en Ampère (A).

            Dans la pratique, on considère que le temps T de charge complète d'une batterie vide, exprimé en heure (h), s'obtient en divisant la capacité C de la batterie, exprimée usuellement en kilowattheure (kWh), par la puissance de charge P de la borne de recharge exprimée en kilowatt (kW).

            On considère une batterie de la marque D.

            Déterminer le temps de charge complète de cette batterie sur une borne de recharge \og Rapide \fg. Exprimer le résultat en heures et minutes.

        \item  Lors du branchement d'une batterie vide de marque A sur une borne de recharge de type \og Normal \fg, la charge (en kWh) en fonction du temps (en heure) est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ solution de l'équation différentielle: 

            \[
                y' + 0,55y = 12,1
            \]

            \begin{enumerate}
                \item Résoudre l'équation différentielle sur $\intOF{0}{+\infty}$
                \item Justifier que $f(0)=0$.
                \item Montrer que la fonction $f$ est définie par $f(x) = -22e^{-0,55t} + 22$
                \item Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Interpréter le résultat dans le cadre de cet exercice.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}
