\collectexercises{banque} \begin{exercise}[subtitle={Opérations et complexes}, step={1}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}] Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan représentés par les nombres complexes suivants \[ z_A = 2i + 3 \qquad \qquad z_B = -1 + i \qquad \qquad z_C = -3i \] \begin{enumerate} \item Construire une repère pour placer les points $A$, $B$ et $C$. \item Calculer les modules des trois nombres complexes. Interpréter. \item Faire les calculs suivants et placer les points sur le repère. \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $z_D = z_A + z_B$ \item $z_E = \bar{z_B}$ \item $z_F = z_A + \bar{z_C}$ \item $z_G = z_B z_C$ \item $z_H = \bar{z_A} z_C$ \item $z_I = \bar{z_A} z_A$ \item $z_J = \frac{z_A}{z_B}$ \item $z_K = \frac{z_C}{z_B}$ \item $z_L = \frac{1}{z_B} + \frac{1}{z_C}$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Impédence d'un circuit}, step={1}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}] Soit 3 dipôles dont l'impédance est modélisée par les nombres complexes suivants \vspace{-0.5cm} \begin{multicols}{3} \begin{circuitikz} \draw (0,0) to[R, l=$Z_1$, a=$1+j$](2,0); \end{circuitikz} \begin{circuitikz} \draw (0,0) to[R, l=$Z_2$, a=$j$](2,0); \end{circuitikz} \begin{circuitikz} \draw (0,0) to[R, l=$Z_3$, a=$2-3j$](2,0); \end{circuitikz} \end{multicols} \vspace{-0.5cm} En fonction de la façon de brancher ces dipôles, l'impédance total change. Calculer l'impédance de ces assemblages. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item \begin{circuitikz}[baseline=(a.south)] \draw (0,0) to[R, l=$Z_3$, a=$2-3j$](2,0) to [R, l=$Z_2$, a=$j$](4,0) to[R, l=$Z_3$, a=$2-3j$](6,0); \end{circuitikz} $Z_1 + Z_2 + Z_3 = $ \item \begin{circuitikz}[baseline=(a.south)] \draw (0,0) -- (1,0) -- (1, 0.75) to [R, l=$Z_1$, a=$1+j$] (3,0.75) -- (3, 0) -- (4,0); \draw (0,0) -- (1,0) -- (1, -0.75) to [R, l=$Z_2$, a=$j$] (3,-0.75) -- (3, 0) -- (4,0); \end{circuitikz} $\dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} = $ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Algébrique vers trigonométrique}, step={2}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}] Placer les points suivant sur le plan complexe puis déterminer leur module et argument. \begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{itemize} \item $z_A = 2i + 4$ \item $z_B = -2i + 1$ \item $z_C = i$ \item $z_D = -3i - 3$ \item $z_E = 2i + 2\sqrt{3}$ \item $z_F = -3i + 3$ \item $z_G = $ \item $z_H = $ \end{itemize} \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.5] \repere{-5}{5}{-5}{5} \draw (-4,-1) node {$\times$} node[below left] {$G$}; \draw (-4,4) node {$\times$} node[below left] {$H$}; \end{tikzpicture} \end{minipage} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Trigonométrique vers algébrique}, step={2}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}] Tracer un grand plan complexe puis placer les points et déterminer leur forme algébrique \begin{multicols}{3} \begin{itemize} \item $z_A$ avec $\theta = \pi$ et $r = 2$. \item $z_B$ avec $\theta = -\frac{\pi}{2}$ et $r = 3$. \item $z_C$ avec $\theta = \frac{3\pi}{2}$ et $r = 0.5$. \item $z_D$ avec $\theta = \frac{\pi}{3}$ et $r = 1$. \item $z_E$ avec $\theta = \frac{\pi}{6}$ et $r = 3$. \item $z_F$ avec $\theta = \frac{\pi}{3}$ et $r = 4$. \item $z_G$ avec $\theta = \frac{5\pi}{6}$ et $r = 2$. \item $z_H$ avec $\theta = \frac{5\pi}{3}$ et $r = 3$. \item $z_I$ avec $\theta = -\frac{\pi}{4}$ et $r = 2$. \end{itemize} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Fonctions complexes}, step={3}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Fonctions}] Dans cet exercice, on étudie des fonctions qui manipulent des nombres complexes. On étudiera leurs effets géométriques à partir des points $A$, $B$, $C$ et $D$ définit par les nombres complexes suivants \[ z_A = 1 + i \qquad z_B = 1 - 2i \qquad z_C = -3 + i \qquad z_D = 2 - i \] \begin{enumerate} \item Tracer le plan complexe et placer les points. \item On définit la fonction $f(z) = z + 2i + 1$ \begin{enumerate} \item Calculer $z_{A'} = f(z_A)$ puis placer en rouge la point $A'$ sur le plan complexe. \item Faire la même chose pour $z_B$, $z_C$ et $z_D$. \item Décrire l'effet géométrique de la fonction $f$. \end{enumerate} \item On définit la fonction $g(z) = z - i + 2$ \begin{enumerate} \item Calculer $z_{A''} = g(z_A)$ puis placer en noir la point $A''$ sur le plan complexe. \item Faire la même chose pour $z_B$, $z_C$ et $z_D$. \item Décrire l'effet géométrique de la fonction $g$. \end{enumerate} \item On définit la fonction $h(z) = 2z$ \begin{enumerate} \item Calculer $z_{A'''} = g(z_A)$ puis placer en vert la point $A'''$ sur le plan complexe. \item Faire la même chose pour $z_B$, $z_C$ et $z_D$. \item Décrire l'effet géométrique de la fonction $h$. \end{enumerate} \item(*) On définit la fonction $j(z) = iz$ \begin{enumerate} \item Calculer $z_{A""} = g(z_A)$ puis placer en vert la point $A""$ sur le plan complexe. \item Faire la même chose pour $z_B$, $z_C$ et $z_D$. \item Décrire l'effet géométrique de la fonction $j$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Transformations du plan complexe}, step={3}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Fonctions}] Écrire la fonction complexe qui permet de réaliser les transformations suivantes \begin{enumerate} \item La translation de 2 unités à droite et 1 unité en bas. \item La translation de vecteur $\vec{v} = \vectCoord{-2}{-5}$. \item L'homothétie de rapport 5. \item L'homothétie de rapport 0.1. \end{enumerate} \end{exercise} \collectexercisesstop{banque}