\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Équation differentielle - Cours}
\date{février 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Équation différentielle}

\begin{definition}

Une \textbf{équation différentielle} est une relation une variable ($x$, $t$...), une fonction ($f$) et les dérivées de cette fonction ($f'$, $f''$...).

\textbf{Résoudre une équation différentielle} consiste à déterminer toutes les fonctions qui satisfont cette relation.
    
\end{definition}

\subsection*{Exemple}

On souhaite résoudre l'équation différentielle $f'(x) = 3x^2$.

Le cours sur la primitive nous permet résoudre cette équation. Une solution peut-être
\[
    f(x) = x^3
\]
Mais il en existe d'autres
\[
    f(x) = x^3 + 1 \qquad \qquad
    f(x) = x^3 + 2 \qquad \qquad
    f(x) = x^3 - 1 \qquad \qquad
    f(x) = x^3 - 4 \qquad \qquad
\]

On peut vérifier que cette fonction est bien solution de cette équation la dérivant:

\afaire{}

On peut noter toutes ces solutions sous la forme suivantes
\[
    f(x) = x^3 + k \qquad \mbox{ avec } k \mbox{ un nombre réel}
\]
Cela signifie qu'il y a une infinité de solution à cette équation différentielle. Toutes les fonctions tracées dans le graphiques ci-dessous sont des solutions (et il en existe une infinité d'autres)

\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[yscale=0.7, xscale=1.4]
        \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
        ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3}
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+1}
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+2}
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-1}
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-4}
    \end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{encadre}{ Notation }
Il y a différente façons de noter les dérivées dans les équations différentielles:

\begin{multicols}{3}
    Classique: $f'(x) = 3x^2 + k$

    Compacte:  $y' = 3x^2 + k$

    Physicienne: $\dfrac{df}{dx} = 3x^2 + k$
\end{multicols}
~\\
\end{encadre}


\end{document}
