\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Logarithme - Cours}
\date{avril 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{4}

\section{Fonction logarithme}

\begin{definition}
    La \textbf{fonction logarithme} notée $\ln$ est définie sur $\R^{+*}=\intOO{0}{+\infty}$ par $\ln :x \mapsto ln(x)$.

    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \begin{itemize}
            \item Elle est continue et dérivable sur $\R^{+*}$
            \item Elle est négative sur $\intOO{0}{1}$
            \item Elle est positive sur $\intOO{1}{+\infty}$
            \item $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
        \end{itemize}
        \begin{tikzpicture}
            \tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$/1,$f(x)$/2}%
            {$0$, $+\infty$}%
            \tkzTabVar{D-/$-\infty$, +/$+\infty$}%
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
            ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
            \tkzFct[domain = 0.01:6, line width=1pt]{log(x)}
            \tkzText[draw,fill = brown!20](5,-2.5){$f(x)=\ln(x)$}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{definition}


\begin{propriete}
    La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse
    \[
        \forall x \in \intOO{0}{+\infty} \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}
    \]

\end{propriete}

On en déduit, pour tout $x > 0$:
\begin{itemize}
    \item $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x} > 0$ alors la fonction logarithme est \dotfill
    \item $\ln''(x) = \makebox[2cm]{\dotfill}$ et $\makebox[2cm]{\dotfill}$ alors la fonction logarithme est \dotfill
\end{itemize}

\subsection*{Exemples de calculs}

Calcul de la dérivée de $f(x) = 2x + 1 - 4\ln(x)$
\afaire{}

Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)\ln(x)$
\afaire{}

Calcul de la dérivée de $f(x) = \dfrac{2x+1}{\ln(x)}$
\afaire{}

\end{document}
