Suite et répétition

Dans tout ce TP, il est demandé de ne jamais utiliser la formule explicite pour répondre aux consignes.

Calculer des termes d'une suite

Ci-dessous, un programme python qui permet de calculer des termes d'une suite.

1. Reconnaître la nature et les paramètres de cette suite. Vous pouvez modifier le programme pour afficher les résultats des calculs.

u = 2
u = u - 1.5
u = u - 1.5
u = u - 1.5
u = u - 1.5
u = u - 1.5

Réponse:

1. Même question pour la suite suivante

t = 5
t = 2*t
t = 2*t
t = 2*t
t = 2*t
t = 2*t
t = 2*t

Réponse:

1. Pour les suites suivantes écrire une programme python qui permet de calculer et afficher les valeurs de $u_1$, $u_5$ et $u_{10}$.

a. $(u_n)$ est géométrique de raison 1.2 et de premier terme $u_0 = 23$.

b. $(u_n)$ est arithmétique de raison -2 et de premier terme $u_0 = 7$

c. (*) $(u_u)$ a pour premier terme $u_0 = 3$ et pour formule de récurence $u_{n+1} = 2u_n - 1$

Éviter les répétitions: boucle for

Dans les programmes précédents, beaucoup de lignes se répètent. Imaginez que l'on demander $u_{1000}$, cette méthode de programmation ne serait pas satisfaisant.

1. Le programme suivant calcule les termes d'une suite et affiche le terme 5.

u = 2
for i in range(5):
    u = u *1.01
print(u)

2.1020201002

a. Quelle est la nature de la suite? Quels sont les paramètres?

b. Copier puis modifier le programme pour calculer $u_{10}$.

c. Idem pour calculer la valeur de $u_{1000}$

1. Écrire un programme qui calcule $u_{500}$ quand $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0.99 et de premier terme 10 000.

1. (*) $(u_u)$ a pour premier terme $u_0 = 700$ et pour formule de récurence $u_{n+1} = 0.7u_n - 400$. Calculer $u_{50}$.

Détecter des seuils: boucle while

Ci-dessous, un programme qui répète plusieurs actions jusqu'à ce que quelque chose arrive.

1. Expliquer ce que fait chaque ligne, en utilisant les commentaires #... comme fait à la première ligne.

u = 5 # assigne 5 à la variable u
n = 0
print("u(", n, ") = ", u)

while u < 40:
    u = u + 2
    n = n + 1
    print("u(", n, ") = ", u)

print("Ah! u(n) est plus grand que 40 après avoir répété", n, "fois le calcul.")

u( 0 ) =  5
u( 1 ) =  7
u( 2 ) =  9
u( 3 ) =  11
u( 4 ) =  13
u( 5 ) =  15
u( 6 ) =  17
u( 7 ) =  19
u( 8 ) =  21
u( 9 ) =  23
u( 10 ) =  25
u( 11 ) =  27
u( 12 ) =  29
u( 13 ) =  31
u( 14 ) =  33
u( 15 ) =  35
u( 16 ) =  37
u( 17 ) =  39
u( 18 ) =  41
Ah! u(n) est plus grand que 40 après avoir répété 18 fois le calcul.

1. Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison 1.2 et de premier terme 10. Déterminer $n$ pour que $u_n$ soit supérieur à 1000.

1. Un camion est acheté 40 500€ en 2020. Chaque année, il perd 20% de sa valeur. En quelle année la valeur du camion sera inférieur à 1 000€?

1. On souhaite mettre 10 000€ en banque. On propose deux placements.

   • Placement 1: rendement fixe de 500\euro par ans
   • Placement 2: rendement variable de 1% de la valeur initiale.

Combien d'année faudra-t-il attendre pour que le placement 2 devienne plus rentable que le premier?