\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\author{Benjamin Bertrand}
\title{Équation differentielle - Cours}
\date{Mai 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{1}
\section{Solutions d'équations différentielles}

\begin{propriete}[équation $y' = a(x)$]

    Soit $a(x)$ une fonction réelle, on note $A(x)$ une primitive de $a(x)$. 

    Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a(x)$ sont
    \[
        f(x) = A(x) + k \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
    \]
\end{propriete}

\paragraph{Exemples}%
Les solutions de $y' = 10x + 1$ sont 
\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}

\begin{propriete}[équation $y' = ay$]

    Soit $a$ un nombre réel non nul

    Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a y$ sont
    \[
        f(x) = ke^{ax} \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
    \]
\end{propriete}

\paragraph{Exemples}%
Les solutions de $y' = 10y$ sont 
\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}

\paragraph{Démonstration}%

\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/d4233ed5-4e88-4be1-b470-58df67aefeb5}{Démonstration de la propriété}


\begin{propriete}[équation $y' = ay + b$]

    Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls

    Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a y + b$ sont
    \[
        f(x) = ke^{ax} - \frac{b}{a} \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
    \]
\end{propriete}

\paragraph{Exemples}%
Les solutions de $y' = 10y + 5$ sont 
\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}

\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/b6247c66-e834-46f9-adfa-af30cca4721}{Résoudre une équation du type $y' = ay + b$.}


\end{document}