\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill COULLON Anis}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 10}{10} - \dfrac{- 1}{10}$
            \item $B = \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{16}$

            \item $C = \dfrac{- 2}{9} + \dfrac{8}{8}$
            \item $D = \dfrac{10}{6} - 8$

            \item $E = \dfrac{- 5}{8} \times \dfrac{- 4}{7}$
            \item $F = \dfrac{5}{7} \times 6$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{10} - \dfrac{- 1}{10}=\dfrac{- 10}{10} + \dfrac{1}{10}=\dfrac{- 10 + 1}{10}=\dfrac{- 9}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{16}=\dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{16}=\dfrac{8 \times 2}{8 \times 2} - \dfrac{5}{16}=\dfrac{16}{16} - \dfrac{5}{16}=\dfrac{16 - 5}{16}=\dfrac{16 - 5}{16}=\dfrac{11}{16}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 2}{9} + \dfrac{8}{8}=\dfrac{- 2 \times 8}{9 \times 8} + \dfrac{8 \times 9}{8 \times 9}=\dfrac{- 16}{72} + \dfrac{72}{72}=\dfrac{- 16 + 72}{72}=\dfrac{56}{72}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{10}{6} - 8=\dfrac{10}{6} + \dfrac{- 8}{1}=\dfrac{10}{6} + \dfrac{- 8 \times 6}{1 \times 6}=\dfrac{10}{6} + \dfrac{- 48}{6}=\dfrac{10 - 48}{6}=\dfrac{- 38}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 5}{8} \times \dfrac{- 4}{7}=\dfrac{- 5 \times - 4}{8 \times 7}=\dfrac{20}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{5}{7} \times 6=\dfrac{5 \times 6}{7}=\dfrac{30}{7}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (5x - 3)(4x - 3)$
            \item $B = (3x + 5)(- 9x + 5)$

            \item $C = (8x - 5)^{2}$
            \item $D = - 3 + x(5x + 7)$

            \item $E = 10x^{2} + x(- 1x - 7)$
            \item $F = - 6(x + 2)(x + 9)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (5x - 3)(4x - 3)\\&= 5x \times 4x + 5x \times - 3 - 3 \times 4x - 3 \times - 3\\&= 5 \times 4 \times x^{1 + 1} - 3 \times 5 \times x - 3 \times 4 \times x + 9\\&= - 15x - 12x + 20x^{2} + 9\\&= (- 15 - 12) \times x + 20x^{2} + 9\\&= 20x^{2} - 27x + 9
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (3x + 5)(- 9x + 5)\\&= 3x \times - 9x + 3x \times 5 + 5 \times - 9x + 5 \times 5\\&= 3 \times - 9 \times x^{1 + 1} + 5 \times 3 \times x + 5 \times - 9 \times x + 25\\&= 15x - 45x - 27x^{2} + 25\\&= (15 - 45) \times x - 27x^{2} + 25\\&= - 27x^{2} - 30x + 25
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (8x - 5)^{2}\\&= (8x - 5)(8x - 5)\\&= 8x \times 8x + 8x \times - 5 - 5 \times 8x - 5 \times - 5\\&= 8 \times 8 \times x^{1 + 1} - 5 \times 8 \times x - 5 \times 8 \times x + 25\\&= - 40x - 40x + 64x^{2} + 25\\&= (- 40 - 40) \times x + 64x^{2} + 25\\&= 64x^{2} - 80x + 25
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 3 + x(5x + 7)\\&= - 3 + x \times 5x + x \times 7\\&= 5x^{2} + 7x - 3
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 10x^{2} + x(- 1x - 7)\\&= 10x^{2} + x \times - x + x \times - 7\\&= 10x^{2} - x^{2} - 7x\\&= 10x^{2} - x^{2} - 7x\\&= (10 - 1) \times x^{2} - 7x\\&= 9x^{2} - 7x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 6(x + 2)(x + 9)\\&= (- 6x - 6 \times 2)(x + 9)\\&= (- 6x - 12)(x + 9)\\&= - 6x \times x - 6x \times 9 - 12x - 12 \times 9\\&= 9 \times - 6 \times x - 108 - 6x^{2} - 12x\\&= - 54x - 108 - 6x^{2} - 12x\\&= - 6x^{2} - 54x - 12x - 108\\&= - 6x^{2} + (- 54 - 12) \times x - 108\\&= - 6x^{2} - 66x - 108
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 7x^{2} - 70x - 175$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 7 \times 1^{2} - 70 \times 1 - 175=- 7 \times 1 - 70 - 175=- 7 - 245=- 252
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 7 \times - 1^{2} - 70 \times - 1 - 175=- 7 \times 1 + 70 - 175=- 7 - 105=- 112
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
