\collectexercises{banque} \begin{exercise}[subtitle={Étude graphique}, step={1}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}] \noindent \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{enumerate} \item On note $f(x) = 10^x$. Laquelle des fonctions tracées sur le graphique à droite correspond à la représentation graphique de $f(x)$. \item Reconnaître les formules des autres fonctions puissances représentée sur le graphique. \item Résoudre graphiquement les équations suivantes \[ f(x) = 20 \qquad \qquad 10^x = 100 \qquad \qquad 10^x = 80 \] \item Résoudre graphiquement $f(x) \geq 50$. \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1.5] \tkzInit[xmin=-2,xmax=2,xstep=1, ymin=0,ymax=100,ystep=10] \tkzGrid \tkzAxeXY \tkzFct[domain = -3:2, line width=1pt]{10**x} \tkzFct[domain = -3:2,color=blue,very thick]{15**x} \tkzFct[domain = -3:2,color=red,very thick]{0.1**x} \tkzFct[domain = -3:2,color=green,very thick]{40**x} \tkzFct[domain = -3:2,color=gray,very thick]{0.2**x} \end{tikzpicture} \end{minipage} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Économie d'échelle}, step={1}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}] Une usine produit des pièces pour les voitures. Produire en grande quantité permet de réduire les coûts de production, c'est \textbf{une économie d'échelle}. On modélise le prix unitaire (pour produire une pièce) par la fonction $f(x) = 200\times 10^{-0.01x}$ où $x$ représente la quantité produite par l'usine en une journée. Cette fonction est représenter ci-dessous. \begin{center} \begin{tikzpicture}[yscale=0.4, xscale=0.8] \tkzInit[xmin=0,xmax=200,xstep=10, ymin=0,ymax=200,ystep=20] \tkzGrid \tkzDrawX[label={\textit{Quantité produite}},above=10pt] \tkzLabelX \tkzDrawY[label={\textit{Prix unitaire (en \euro)}}, right=10pt] \tkzLabelY \tkzFct[domain = 0:200, line width=1pt]{200*10**(-0.01*\x)} \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Vous utiliserez le graphique pour répondre aux questions suivantes \begin{enumerate} \item Quel est le coût unitaire pour une production de 10 pièces? Combien cela va-t-il coûter au total? \item Combien de pièces doit-on produire pour que le coût unitaire soit environ égal à 100\euro? \item Combien de pièces doit-on produire pour que le coût unitaire soit inférieur à 40\euro? \item Résoudre l'inéquation $f(x) \geq 80$. \item (sti2d) Si l'on produit une infinité de prièce. Quel va être le prix unitaire de celles-ci? \end{enumerate} \item Vous justifierez vos réponses aux questions suivantes avec un calcul \begin{enumerate} \item Quel est le coût unitaire pour une production de 20 pièces? Combien cela va-t-il coûter au total? \item Quel est le coût unitaire pour une production de 170 pièces? Combien cela va-t-il coûter au total? \item (*) Combien de pièces doit-on produire pour que le coût unitaire soit inférieur à 10\euro? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Stockage de données}, step={1}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}] En informatique, un \textbf{bit} est représenté par un 1 ou un 0. C'est l'unité de base mesurer le poids d'une information numérique: 1bit peut décrire 2 choses, 2bits peut décrire 4 choses, 3bits 8 ... Si on note $x$ le nombre de bits, alors le nombre d'information différentes qu'il est possible de décrire est donné par la fonction $f(x) = 2^x$. \begin{enumerate} \item Décrire la fonction $f(x)$. Quel type de fonction reconnaît-on? \item Combien de d'informations peut-on décrire avec 8bits (c'est un octet)? \item Combien de d'informations peut-on décrire avec 128bits? \item Combien de bit doit-on utiliser pour décrire \np{1000000} information différentes? \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}] Résoudre les équations suivantes \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $10^{x} = 200$ \item $10^{x} = 2$ \item $10^{x} = -10$ \item $10^{2x} = 3$ \item $10^{-3x} = 10$ \item $10^{5x+1} = 10$ \item $2\times10^{x} = 6$ \item $-3\times10^{x} = -9$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Résolution d'inéquations}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}] Résoudre les inéquations suivantes \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $10^{x} \leq 300$ \item $10^{x} > 45$ \item $10^{x} < 100$ \item $10^{3x} \geq 3$ \item $10^{-0.1x} \leq 10$ \item $10^{2x+1} \geq 5$ \item $3\times10^{x} > 6$ \item $-2\times10^{x} < -8$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Relation fonctionnelle}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}] \begin{enumerate} \item Calculer les quantités suivantes arrondis au millième. \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $A = \ln(6)$ \item $B = \ln(32)$ \item $C = \ln(21)$ \item $D = \ln(27)$ \item $E = \ln(2) + \ln(3)$ \item $F = \ln(3) + \ln(7)$ \item $G = \ln(2) + \ln(16)$ \item $H = \ln(63) - \ln(3)$ \item $I = \ln(108) - \ln(4)$ \item $J = 5\ln(2)$ \item $K = 3\ln(3)$ \item $L = - \ln(\frac{1}{6})$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Conjecture des formules ci-dessous \[ \log(a) + \log(b) = \log(...) \qquad \qquad \log(a) - \log(b) = \log(...) \qquad \qquad n\log(a) = \log(...) \] \begin{multicols}{2} \item (*) Soient $x$ et $y$ strictement positif. Après avoir calculer séparément $e^{\ln(x) + \ln(y)}$ et $e^{\ln(x\times y)}$, démontrer que $\ln(x \times y) = \ln(x) + \ln(y)$. \item (*) Démontrer que pour tout $n \in \N$, $\ln(a^n) = n \ln(a)$. \item (*) Démontrer que $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$. \item (*) En déduire une formule pour $\ln(\frac{1}{a})$ \end{multicols} \end{enumerate} \end{exercise} \collectexercisesstop{banque}