\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill MOKHTARI Nissrine}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{7}{9} - \dfrac{- 6}{9}$
            \item $B = \dfrac{6}{3} - \dfrac{3}{27}$

            \item $C = \dfrac{- 9}{7} + \dfrac{4}{6}$
            \item $D = \dfrac{- 4}{5} + 7$

            \item $E = \dfrac{2}{4} \times \dfrac{6}{3}$
            \item $F = \dfrac{1}{2} \times 5$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{7}{9} - \dfrac{- 6}{9}=\dfrac{7}{9} + \dfrac{6}{9}=\dfrac{7 + 6}{9}=\dfrac{13}{9}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{6}{3} - \dfrac{3}{27}=\dfrac{6}{3} - \dfrac{3}{27}=\dfrac{6 \times 9}{3 \times 9} - \dfrac{3}{27}=\dfrac{54}{27} - \dfrac{3}{27}=\dfrac{54 - 3}{27}=\dfrac{54 - 3}{27}=\dfrac{51}{27}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 9}{7} + \dfrac{4}{6}=\dfrac{- 9 \times 6}{7 \times 6} + \dfrac{4 \times 7}{6 \times 7}=\dfrac{- 54}{42} + \dfrac{28}{42}=\dfrac{- 54 + 28}{42}=\dfrac{- 26}{42}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 4}{5} + 7=\dfrac{- 4}{5} + \dfrac{7}{1}=\dfrac{- 4}{5} + \dfrac{7 \times 5}{1 \times 5}=\dfrac{- 4}{5} + \dfrac{35}{5}=\dfrac{- 4 + 35}{5}=\dfrac{31}{5}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{2}{4} \times \dfrac{6}{3}=\dfrac{2 \times 6}{4 \times 3}=\dfrac{12}{12}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{1}{2} \times 5=\dfrac{1 \times 5}{2}=\dfrac{5}{2}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (8x + 8)(9x + 8)$
            \item $B = (- 9x - 7)(3x - 7)$

            \item $C = (8x - 10)^{2}$
            \item $D = - 1 + x(- 3x - 7)$

            \item $E = - 7x^{2} + x(3x + 1)$
            \item $F = - 6(x + 9)(x - 4)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (8x + 8)(9x + 8)\\&= 8x \times 9x + 8x \times 8 + 8 \times 9x + 8 \times 8\\&= 8 \times 9 \times x^{1 + 1} + 8 \times 8 \times x + 8 \times 9 \times x + 64\\&= 64x + 72x + 72x^{2} + 64\\&= (64 + 72) \times x + 72x^{2} + 64\\&= 72x^{2} + 136x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 9x - 7)(3x - 7)\\&= - 9x \times 3x - 9x \times - 7 - 7 \times 3x - 7 \times - 7\\&= - 9 \times 3 \times x^{1 + 1} - 7 \times - 9 \times x - 7 \times 3 \times x + 49\\&= 63x - 21x - 27x^{2} + 49\\&= (63 - 21) \times x - 27x^{2} + 49\\&= - 27x^{2} + 42x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (8x - 10)^{2}\\&= (8x - 10)(8x - 10)\\&= 8x \times 8x + 8x \times - 10 - 10 \times 8x - 10 \times - 10\\&= 8 \times 8 \times x^{1 + 1} - 10 \times 8 \times x - 10 \times 8 \times x + 100\\&= - 80x - 80x + 64x^{2} + 100\\&= (- 80 - 80) \times x + 64x^{2} + 100\\&= 64x^{2} - 160x + 100
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 1 + x(- 3x - 7)\\&= - 1 + x \times - 3x + x \times - 7\\&= - 3x^{2} - 7x - 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= - 7x^{2} + x(3x + 1)\\&= - 7x^{2} + x \times 3x + x \times 1\\&= - 7x^{2} + 3x^{2} + x\\&= - 7x^{2} + 3x^{2} + x\\&= (- 7 + 3) \times x^{2} + x\\&= - 4x^{2} + x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 6(x + 9)(x - 4)\\&= (- 6x - 6 \times 9)(x - 4)\\&= (- 6x - 54)(x - 4)\\&= - 6x \times x - 6x \times - 4 - 54x - 54 \times - 4\\&= - 4 \times - 6 \times x + 216 - 6x^{2} - 54x\\&= 24x + 216 - 6x^{2} - 54x\\&= - 6x^{2} + 24x - 54x + 216\\&= - 6x^{2} + (24 - 54) \times x + 216\\&= - 6x^{2} - 30x + 216
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = x^{2} + 6x - 7$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 1^{2} + 6 \times 1 - 7=1 + 6 - 7=1 - 1=0
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 1^{2} + 6 \times - 1 - 7=1 - 6 - 7=1 - 13=- 12
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
