\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}

% Title Page
\title{DM2 \hfill EYRAUD Cynthia}
\tribe{TST}
\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 24 février}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
    Trois personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0.14$.

    Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 3 personnes de ce groupe.
    \begin{enumerate}
        \item Tracer l'arbre représentant le situation.
        \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
        \item Quelle est la probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique?
        \item Calculer puis interpréter les probabilités suivantes
            \[
                P(X = 0) \qquad \qquad P(X \geq 2)
            \]
        \item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{tikzpicture}[sloped]
                \node {.} 
                child {node {$0$}
                    child {node {$0$} 
                        child {node {$0$} 
                            edge from parent
                            node[above] {0.86}
                        }
                        child {node {$1$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.14}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.86}
                    }
                    child[missing] {}
                    child {node {$1$}
                        child {node {$0$} 
                            edge from parent
                            node[above] {0.86}
                        }
                        child {node {$1$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.14}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.86}
                    } 
                    edge from parent
                    node[above] {0.86}
                }
                child[missing] {}
                child[missing] {}
                child[missing] {}
                child { node {$1$}
                    child {node {$0$}
                        child {node {$0$} 
                            edge from parent
                            node[above] {0.86}
                        }
                        child {node {$1$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.14}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.86}
                    }
                    child[missing] {}
                    child {node {$1$}
                        child {node {$0$} 
                            edge from parent
                            node[above] {0.86}
                        }
                        child {node {$1$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.14}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.86}
                    } 
                    edge from parent
                    node[above] {0.14}
                } ;
            \end{tikzpicture}
        \item Chaque personne a 2 possibilités (1: fait sonner ou 2: ne fait pas sonner) et l'on fait passer 3 personnes ce qui correspond à une répétition identique et aléatoire. On peut donc modéliser la situation par une loi binomiale.
            \[
                X \sim \mathcal{B}(3; 0.76)
            \]
        \item Probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique. On voit qu'il y a 3 branches qui correspondent à cette situation dont
            \[
                P(X = 1) = 3 \times 0.14^1 \times 0.86^2  \approx 0.311
            \]
        \item 
            \[
                P(X = 0) = 0.86^3  \approx 0.636
            \]
            \[
                P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) =  3 \times 0.14^2 \times 0.86^1 + 0.14^3  \approx 0.054
            \]

        \item Il faut d'abord tracer le tableau résumant la loi de probabilité:
            \begin{center}
            \begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
                \hline
                Valeur & 0 & 1 & 2 & 3 \\
                \hline
                Probabilité & $0.636$ & $0.311$ & $0.051$ &$0.003$ \\
                \hline
            \end{tabular}
            \end{center}
            On peut alors calculer l'espérance
            \[
                E[X] = 0 \times 0.636 + 1 \times 0.311 + 2 \times 0.051 + 3 \times 0.003 = 0.42
            \]
            On peut donc estimer qu'il y aura en moyenne $0.42$ personnes qui feront sonner le portique sur les 3 personnes.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Équation puissance}]
    Résoudre les équations et inéquations suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $10^x = 5$
            \item $20^x = 40$
            \item $0.85^x \leq 38$
            \item $2 \times 0.24^x = 24$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    Les solutions ci-dessous ne sont pas justifiée car l'ordinateur ne sait pas faire. Par contre, vous vous devez savoir justifier vos réponses!
    \begin{enumerate}
        \item $x = \log(5)$
        \item $x = \frac{\log(40)}{\log(20)}$
        \item Il faut faire attention quand on divise par un log car ce dernier peut être négatif ce qui est le cas ici. Il faut donc pense à changer le sens de l'inégalité.

            $x \geq \frac{\log(38)}{\log(0.85)}$

        \item Il faut penser à faire la division à par $2$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.

            $x = \frac{\log(12.0)}{\log(0.24)}$
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 3x^3 + 49.5x^2 + 5580x - 3$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
        \item Calculer $f'(31)$ et $f'(-20)$.
        \item En déduire une forme factorisée de $f'(x)$.
        \item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
        \item Est-ce que la fonction $f(x)$ admet un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Dérivée de $f(x)$: $f'(x) = - 9x^2 + 99x + 5580$
        \item 
            \begin{align*}
                f'(31) &= - 9 \times 31^{2} + 99 \times 31 + 5580\\&= - 9 \times 961 + 3069 + 5580\\&= - 8649 + 8649\\&= 0
            \end{align*}
            \begin{align*}
                f'(-20) &= - 9 \times - 20^{2} + 99(- 20) + 5580\\&= - 9 \times 400 - 1980 + 5580\\&= - 3600 + 3600\\&= 0
            \end{align*}
            Donc $x = 31$ et $x=-20$ sont des racines de $f'(x) = - 9x^2 + 99x + 5580$.
        \item On en déduit la forme factorisée suivante
            \[
                f'(x) = -9 (x - 31)(x--20)
            \]
        \item Pas de correction disponible
        \item À causes des branches extérieurs, la fonction $f(x)$ n'a pas de maximum ou de minimum.
    \end{enumerate}
\end{solution}



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\end{document}

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%%% End:
