\documentclass[a5paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{tasks}

% Title Page
\title{DM2 \hfill \Var{Nom}}
\tribe{TST}
\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 24 février}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
    %- set p = round(random(), 2)
    Trois personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $\Var{p}$.

    Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 3 personnes de ce groupe.
    \begin{enumerate}
        \item Tracer l'arbre représentant le situation.
        \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
        \item Quelle est la probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique?
        \item Calculer puis interpréter les probabilités suivantes
            \[
                P(X = 0) \qquad \qquad P(X \geq 2)
            \]
        \item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    %- set q = round(1-p, 2)
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{tikzpicture}[sloped]
                \node {.} 
                child {node {$0$}
                    child {node {$0$} 
                        child {node {$0$} 
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{q}}
                        }
                        child {node {$1$}
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{p}}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {\Var{q}}
                    }
                    child[missing] {}
                    child {node {$1$}
                        child {node {$0$} 
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{q}}
                        }
                        child {node {$1$}
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{p}}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {\Var{q}}
                    } 
                    edge from parent
                    node[above] {\Var{q}}
                }
                child[missing] {}
                child[missing] {}
                child[missing] {}
                child { node {$1$}
                    child {node {$0$}
                        child {node {$0$} 
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{q}}
                        }
                        child {node {$1$}
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{p}}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {\Var{q}}
                    }
                    child[missing] {}
                    child {node {$1$}
                        child {node {$0$} 
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{q}}
                        }
                        child {node {$1$}
                            edge from parent
                            node[above] {\Var{p}}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {\Var{q}}
                    } 
                    edge from parent
                    node[above] {\Var{p}}
                } ;
            \end{tikzpicture}
        \item Chaque personne a 2 possibilités (1: fait sonner ou 2: ne fait pas sonner) et l'on fait passer 3 personnes ce qui correspond à une répétition identique et aléatoire. On peut donc modéliser la situation par une loi binomiale.
            \[
                X \sim \mathcal{B}(3; \Var{0.76})
            \]
            %- set p0 = round(q**3, 3)
            %- set p1 = round(3*p*q**2, 3)
            %- set p2 = round(3*p**2*q, 3)
            %- set p3 = round(p**3, 3)
        \item Probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique. On voit qu'il y a 3 branches qui correspondent à cette situation dont
            \[
                P(X = 1) = 3 \times \Var{p}^1 \times \Var{q}^2  \approx \Var{p1}
            \]
        \item 
            \[
                P(X = 0) = \Var{q}^3  \approx \Var{p0}
            \]
            \[
                P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) =  3 \times \Var{p}^2 \times \Var{q}^1 + \Var{p}^3  \approx \Var{round(p2 + p3, 3)}
            \]

        \item Il faut d'abord tracer le tableau résumant la loi de probabilité:
            \begin{center}
            \begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
                \hline
                Valeur & 0 & 1 & 2 & 3 \\
                \hline
                Probabilité & $\Var{p0}$ & $\Var{p1}$ & $\Var{p2}$ &$\Var{p3}$ \\
                \hline
            \end{tabular}
            \end{center}
            On peut alors calculer l'espérance
            %- set E = round(3*p, 3)
            \[
                E[X] = 0 \times \Var{p0} + 1 \times \Var{p1} + 2 \times \Var{p2} + 3 \times \Var{p3} = \Var{E}
            \]
            On peut donc estimer qu'il y aura en moyenne $\Var{E}$ personnes qui feront sonner le portique sur les 3 personnes.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Équation puissance}]
    Résoudre les équations et inéquations suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            %- set a1 = randint(1, 50)
            \item $10^x = \Var{a1}$
            %- set a2 = randint(1, 50)
            %- set b2 = randint(2, 20)
            \item $\Var{b2}^x = \Var{a2}$
            %- set a3 = randint(2, 50)
            %- set b3 = round(random(), 2)
            \item $\Var{b3}^x \leq \Var{a3}$
            %- set a4 = randint(2, 50)
            %- set b4 = round(random(), 2)
            %- set c4 = randint(2, 10)
            \item $\Var{c4} \times \Var{b4}^x = \Var{a4}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    Les solutions ci-dessous ne sont pas justifiée car l'ordinateur ne sait pas faire. Par contre, vous vous devez savoir justifier vos réponses!
    \begin{enumerate}
        \item $x = \log(\Var{a1})$
        \item $x = \frac{\log(\Var{a2})}{\log(\Var{b2})}$
        \item Il faut faire attention quand on divise par un log car ce dernier peut être négatif ce qui est le cas ici. Il faut donc pense à changer le sens de l'inégalité.

            $x \geq \frac{\log(\Var{a3})}{\log(\Var{b3})}$

        \item Il faut penser à faire la division à par $\Var{c4}$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.

            $x = \frac{\log(\Var{round(a4/c4, 2)})}{\log(\Var{b4})}$
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    %- set a_ = randint(-10, 10)
    %- set a = a_*3
    %- set x1 = randint(0, 50)
    %- set x2 = randint(-20, 20)
    %- set b = randint(-50, 50)
    %- set f = Polynom.from_coefficients([b, a*x1*x2, -a*(x1+x2)/2, a_])
    Soit $f(x) = \Var{f}$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
        \item Calculer $f'(\Var{x1})$ et $f'(\Var{x2})$.
        \item En déduire une forme factorisée de $f'(x)$.
        \item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
        \item Est-ce que la fonction $f(x)$ admet un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        %- set fp = f.differentiate()
        \item Dérivée de $f(x)$: $f'(x) = \Var{fp}$
        \item 
            \begin{align*}
                f'(\Var{x1}) &= \Var{fp(x1).explain() |join('\\\\&= ')}
            \end{align*}
            \begin{align*}
                f'(\Var{x2}) &= \Var{fp(x2).explain() |join('\\\\&= ')}
            \end{align*}
            Donc $x = \Var{x1}$ et $x=\Var{x2}$ sont des racines de $f'(x) = \Var{fp}$.
        \item On en déduit la forme factorisée suivante
            \[
                f'(x) = \Var{a} (x - \Var{x1})(x-\Var{x2})
            \]
        \item Pas de correction disponible
        \item À causes des branches extérieurs, la fonction $f(x)$ n'a pas de maximum ou de minimum.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

