\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
\date{Mars 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{2}
\subsection*{Exemple de l'utilisation des formules - test anti-covid}

On s'intéresse aux tests anti-covid et on considère les évènements suivants

\[
    A = \left\{ \mbox{Malade du covid} \right\}
\]
\[
    B = \left\{ \mbox{Testé positif} \right\}
\]

On considère que l'on a 1\% de chance d'être malade du covid.

Les tests anti-covid ne sont pas fiables à 100\% (aucun test ne peut l'être). Voici les données du fabriquant

\begin{itemize}
    \item \textbf{Sensibilité} - probabilité qu'une personne malade soit testée positive - vrai positifs
        \[
            70\%
        \]
    \item \textbf{Spécificité} - probabilité qu'une personne saine soit testée négative - vrai négatifs
        \[
            95\%
        \]
\end{itemize}

\begin{center}
    \textbf
    On est testé positif, quelle est la probabilité que l'on soit malade?
\end{center}

Complétons l'arbre de probabilité de gauche avec les données.

\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[sloped, grow=right]
        \node {.} 
        child {node {$A$}
            child {node {$B$} 
                edge from parent
                node[above] {...}
            }
            child {node {$\overline{B}$}
                edge from parent
                node[above] {...}
            } 
            edge from parent
            node[above] {...}
        }
        child[missing] {}
        child { node {$\overline{A}$}
            child {node {$B$}
                edge from parent
                node[above] {...}
            }
            child {node {$\overline{B}$}
                edge from parent
                node[above] {...}
            } 
            edge from parent
            node[above] {...}
        } ;
    \end{tikzpicture}
    \hspace{3cm}
    \begin{tikzpicture}[sloped, grow=left]
        \node {.} 
        child {node {$B$}
            child {node {$A$} 
                edge from parent
                node[above] {...}
            }
            child {node {$\overline{A}$}
                edge from parent
                node[above] {...}
            } 
            edge from parent
            node[above] {...}
        }
        child[missing] {}
        child { node {$\overline{B}$}
            child {node {$A$}
                edge from parent
                node[above] {...}
            }
            child {node {$\overline{A}$}
                edge from parent
                node[above] {...}
            } 
            edge from parent
            node[above] {...}
        } ;
    \end{tikzpicture}
\end{center}

Calculons la probabilité d'être testé positif.
\[
    P(\cdots) = 
\]

Calculons la probabilité d'être malade sachant que l'on est testé positif.
\[
    P_{\cdots}(\cdots) = 
\]

\afaire{compléter les pointillés et faire les calculs}

\end{document}
