\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Fonction Expronentielle - Cours}
\date{décembre 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Dérivée de la fonction exponentielle}

\begin{definition}[ Rappel: Fonctions puissances ]
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        Soit $a$ un nombre réel positif.

        La fonction \textit{puissance} ou \textit{exponentielle} de base $a$ est la fonction
        \[
            f(x) = a^x
        \]
        Cette fonction est définie sur $\R$.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.6, xscale=0.6]
            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
            ymin=0,ymax=5,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
            \tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
            \tkzFct[domain = -5:5,color=blue,very thick]{1.5**x}
            \tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]{0.5**x}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{definition}

Parmi cette famille de fonction une seule vérifie la condition $f'(0) = 1$ c'est la fonction exponentielle.

\begin{definition}
    La \textbf{fonction exponentielle} notée $\exp$ est définie sur $\R$ par $\exp :x \mapsto e^x$ avec $e \approx 2.71$.

    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \begin{itemize}
            \item Elle est continue et dérivable sur $\R$
            \item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
            \item $e^0 = 1$ et $e^1 = e$
        \end{itemize}
        \begin{tikzpicture}
            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
            {$-\infty$, $+\infty$}%
            \tkzTabVar{-/, +/}%
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.8]
            \tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
            ymin=0,ymax=5,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
            \tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
            \tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

\end{definition}

\begin{propriete}[Dérivée de $\exp$]
La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
\[
    \forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
\]
    
\end{propriete}

Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).

On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill

\subsection*{Exemple de calcul}

Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
\afaire{}



\end{document}
