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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme - Cours}
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\date{avril 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Logarithme népérien}
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Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions.
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\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes]
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Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation
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\[
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\forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b) = f(a) + f(b)
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\]
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Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes.
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\end{propriete}
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\begin{definition}[Logarithme népérien]
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On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie
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\[
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f(e) = 1
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\]
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On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif.
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On a en particulier
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\[
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\ln(e) = 1
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\]
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\end{definition}
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\paragraph{Autres logarithmes remarquables}%
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$.
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\item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$.
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\end{itemize}
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\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
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Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
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\begin{eqnarray*}
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ln(1) &=& 0\\
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ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
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ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
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ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
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\end{eqnarray*}
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\end{propriete}
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\paragraph{Démonstration}%
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\label{par:Démonstration}
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\afaire{Démontrer la première égalité en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ avec $a=b=1$ }
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\afaire{Calculer $\ln(a^2)$, $\ln(a^3)$ et $\ln(a^4)$ en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ pour vérifier la 2e égalité}
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\paragraph{Exemples d'utilisation}%
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\begin{definition}[Logarithme népérien]
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Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $e^b = a$.
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$b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter
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\[
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e^b = a \qquad \equiv \ln(a) = b
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\]
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La fonction \textbf{logarithme népérien}, notée $\ln$, est la fonction qui à tout $x > 0$ associe $\ln(x)$
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\end{definition}
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\subsection*{Valeurs particulières du logarithme}
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\afaire{Calculer les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(e)$}
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\subsection*{Propriétés}
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\begin{itemize}
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\item Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$
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\item Pour tout $x \in \R$, $\ln(e^x) = x$
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\end{itemize}
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\section{Utilisation pour résoudre des équations}
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Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
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\subsection*{Propriétés}
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Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
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\begin{itemize}
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\item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
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\item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
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\item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
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\end{itemize}
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\subsubsection*{Exemple}
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\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
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\end{document}
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