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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Représentation avec des arbres}, step={1}, origin={Création}, topics={Loi binomiale}, tags={Probabilité, Binomiale, Tableur}]
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Représenter chacune des situations suivantes par un arbre de probabilité.
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\begin{enumerate}
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\item Dans mon jardin j'ai planté 3 fraisiers suffisamment éloignés pour qu'ils ne se gênent pas. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas. Je m'intéresse au nombre de fraisier qui donneront des fruits.
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\item Bob mange à la cantine 3 fois par semaine. À chaque fois, il se demande s'il prend un dessert plutôt qu'un fromage ce qu'il fait 2 fois sur 3. On s'intéresse au nombre de fois où il a mangé du dessert en une semaine.
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\item Dans un sachet, il reste 6 bonbons: 2 à la fraise et 4 au réglisse. J'en choisi 4 au hasard et je les mange. Je m'intéresse au nombre de bonbon à la fraise que j'ai mangé.
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\item Dans un jeu vidéo, j'ai une chance sur 6 de commencer avec un compagnon de type "Terre". Je lance 4 parties et je m'intéresse au nombre de fois où j'ai commencé avec un compagnon de type "Terre".
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\item Je joue avec un dé à 6 faces. J'ai le droit à un maximum de 4 lancers. J'arrête de lancer dès que j'ai obtenu un 6. Je compte le nombre de lancer que je fais.
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\item Un examen comporte 3 épreuves. On a une chance sur 2 d'avoir la moyenne à l'épreuve de français, 20\% de chance d'avoir la moyenne en histoire et 80\% de chance d'avoir la moyenne en math. On s'intéresse au nombre de fois où l'on peut avoir la moyenne.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Création}, step={1}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Proposer une expérience aléatoire qui pourrait être modélisée avec une loi binomiale. Vous détaillerez ensuite les paramètres et justifierez la modélisation.
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Jeux}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Bob joue à un jeu où il estime qu'il a 70\% de chance de gagner une partie. Entre 2 parties, il prend le temps de se reposer pour que la précédente partie n'influence pas la suivante.
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On note $V$ l'évènement "Bob gagne la partie".
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Bob fait 2 parties et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de victoire.
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\begin{enumerate}
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\item Faire un arbre qui modélise la situation.
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\item Déterminer la probabilité que Bob gagne une seule partie.
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\item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
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\item Calculer et interpréter les probabilités suivantes
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\[
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P(X = 0) \qquad P(X=2)
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\]
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\item Dresser le tableau de la loi de probabilités de $X$.
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\item Calculer l'espérance de $X$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Repas}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Bob adore manger des légumes. Chaque jour, il choisit au hasard un fruit dans une panière quotidiennement remplie par ses parents contenant 7 bananes, 5 pommes et 2 kiwi.
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Ses parents veulent essayer de prévoir la consommation en banane de Bob sur 3 jours.
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On note donc $X$ le nombre bananes mangées par Bob sur 3 jours et $B$ l'évènement "Bob mange une banane".
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\begin{enumerate}
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\item Faire un arbre qui modélise la situation.
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\item Déterminer la probabilité que Bob gagne deux bananes.
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\item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
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\item Calculer les probabilités suivantes
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\[
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P(X = 1) \qquad P(X=0) \qquad P(X \leq 2)
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\]
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Auto-école}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Dans une auto-école, à chaque session 75\% des candidats réussissent à avoir leur code.
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\begin{enumerate}
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\item On interroge au hasard 4 candidats d'une session pour savoir s'ils ont eu leur code. On note $X$ variable aléatoire qui compte le nombre de réponse positive.
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\begin{enumerate}
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\item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
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\item Calculer les probabilités suivantes
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\[
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P(X = 1) \qquad \qquad
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P(X = 4) \qquad \qquad
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P(X \leq 1)
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\]
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\item Quelle est la probabilité qu'au moins un candidat ait répondu positivement.
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\end{enumerate}
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\item Cette fois-ci, on choisit un candidat et on note $Y$ le nombre de sessions qu'il a du passer avant d'avoir code.
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\begin{enumerate}
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\item Faire un arbre pour représenter la situation.
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\item Peut-on modéliser $Y$ avec une loi binomiale? Si oui, préciser les paramètres.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Construction d'une formule}, step={3}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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\textit{Ce travail doit être fait sans calculatrice, vous écrirez les calculs que vous auriez tapé à la place des résultats dans le tableau. Si vous y arrivez, vous pouvez vous passer de faire l'arbre.}
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\begin{enumerate}
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\item Pour chacune des situations suivantes, construire l'arbre de probabilités et le tableau résumant la loi de probabilité.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $X \sim \mathcal{B}(2, 0.1)$
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\item $X \sim \mathcal{B}(3, 0.4)$
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\item $X \sim \mathcal{B}(3, 0.05)$
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\item $X \sim \mathcal{B}(4, 0.98)$
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\item $X \sim \mathcal{B}(4, 0.60)$
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\item $X \sim \mathcal{B}(5, 0.4)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Au regard des tableaux obtenus à la question précédente, commencer à construire une formule qui permet de calculer les probabilités d'une loi binomiale. Quelle partie reste difficile à calculer?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Triangle de Pascal}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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\noindent
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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Dans cet exercice, $n$ représente le nombre de répétitions et $k$ le nombre de succès.
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\begin{enumerate}
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\item En vous aidant de ce qui a été fait à l'exercice précédent, compléter le tableau ci-dessous avec les coefficients binomiaux.
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\item Quelles sont les cases qui seront toujours vide?
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\item Quelles sont les cases qu'il est "facile" de remplir?
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\item Conjecturer une façon de calculer les autres.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tabular}{|*{8}{p{0.8cm}|}}
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\hline
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n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
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\hline
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0 & 1 & & & & & &\\
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\hline
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1 & & & & & & &\\
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\hline
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2 & & & & & & &\\
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\hline
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3 & & & & & & &\\
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\hline
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4 & & & & & & &\\
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\hline
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5 & & & & & & &\\
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\hline
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6 & & & & & & &\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vaccination des chiots}, step={5}, origin={Indice Math Complémentaire 84p178}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Dans un chenil, on vaccine 5 chiots de façon indépendante. Lors des vaccinations précédente, on avait constaté que le chiot avait une chance sur cinq d'avoir une réaction forte au vaccin.
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On note $X$ le nombre de chiots qui auront une réaction forte au vaccin.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
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\item Calculer $P(X=1)$. Interpréter le résultat.
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\item Quelle est la probabilité que 5 chiots aient une réaction forte??
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\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Temps de trajet}, step={5}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Pour aller au travail, je croise 6 feux. En interrogeant les employés municipaux en charge de la voirie, j'ai appris que ces feux étaient indépendants les uns des autres et qu'ils étaient rouges 70\% du temps.
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On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de feux rouges que je rencontre en allant travailler.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
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\item Calculer $P(X=2)$. Interpréter le résultat.
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\item Quelle est la probabilité que je rencontre 5 feux rouges ou plus?
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\item Combien de feux rouge vais-je avoir en moyenne quand je vais au travail?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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