159 lines
4.8 KiB
TeX
159 lines
4.8 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\author{Benjamin Bertrand}
|
|
\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
|
|
\date{Mars 2021}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\setcounter{section}{1}
|
|
\section{Arbre et probabilité conditionnelles}
|
|
|
|
Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.
|
|
|
|
Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
|
|
|
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
|
|
\node {.}
|
|
child [red] {node {$A$}
|
|
child {node {$B$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {$P_A(B)$}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$C$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {$P_A(C)$}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$D$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {$P_A(D)$}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {$P(A)$}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child { node {$\overline{A}$}
|
|
child {node {$B$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$C$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$D$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {$P(\overline{A})$}
|
|
}%
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1.
|
|
|
|
On a alors
|
|
\[
|
|
P(A) + P(\overline{ A }) = 1
|
|
\]
|
|
ou encore
|
|
\[
|
|
P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
|
|
\]
|
|
\item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues.
|
|
|
|
On a alors (chemin rouge)
|
|
\[
|
|
P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
|
|
\]
|
|
Ou encore la formule de Bayes
|
|
\[
|
|
P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
|
|
\]
|
|
\item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement.
|
|
|
|
C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
|
|
\[
|
|
P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
|
|
\]
|
|
ou
|
|
\[
|
|
P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\paragraph{Exemple}~\\
|
|
|
|
\begin{tabular}{|*{4}{p{2cm}|}c|}
|
|
\hline
|
|
& Moins de 20ans & entre 20 et 50 ans & Plus de 50ans & Total \\
|
|
\hline
|
|
Guéris & 20 & 16 & 30 & 66\\
|
|
\hline
|
|
Malade & 24 & 10 & 5 & 39\\
|
|
\hline
|
|
Total & 44 & 26 & 35 & 105\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
On note
|
|
\[
|
|
A = \left\{ \mbox{Malade} \right\} \qquad P = \left\{ \mbox{Plus de 50ans} \right\} \qquad
|
|
E = \left\{ \mbox{Entre 20 et 50ans } \right\} \qquad M = \left\{ \mbox{Moins de 20ans} \right\} \qquad
|
|
\]
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[sloped, xscale=2, yscale=1.5]
|
|
\node {.}
|
|
child [red] {node {$A$}
|
|
child {node {$P$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$E$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$M$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child { node {$\overline{A}$}
|
|
child {node {$P$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$E$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child [black] {node {$M$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}%
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\afaire{Compléter l'arbre avec les probabilités}
|
|
|
|
\end{document}
|