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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Complexes - Cours}
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\date{septembre 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Forme algébrique}
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\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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Les nombres complexes sont les nombres qui s'écrivent de manière unique sous la forme
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\[a+ib\]
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où $a$ et $b$ sont deux nombres réels et $i$ tel que $i^2=1$.
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Cette forme des nombres complexes est appelée \textbf{forme algébrique}.
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$a$ est la partie \textbf{réelle} et $b$ la partie \textbf{imaginaire} du nombre complexe.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=.8, xscale=.8]
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\repereNoGrid{-1}{4}{-1}{4}
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\draw (0,0) -- (3,3) node [above right] {$M(a+ib)$};
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\draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
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\draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{bclogo}
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\paragraph{Exemples:} soient $z = 2i+1$ et $z'=-i+2$ deux nombres complexes. Calculer
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\begin{multicols}{3}
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$zz' = $
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$z+z' = $
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$\dfrac{z}{z'} = $
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\end{multicols}
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\afaire{}
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\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriété}
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\begin{itemize}
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\item Le \textbf{conjugué} d'un nombre complexe $z = a+ib$ est
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\[
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\bar{z} = a - ib
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\]
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\item La \textbf{norme } d'un nombre complexe $z = a+ib$ est
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\[
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|z| = \sqrt{z\times \bar{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}
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\]
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=.5]
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\repereNoGrid{-4}{4}{-4}{4}
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\draw (0,0) -- (3,3) node [above right] {$z = a+ib$};
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\draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
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\draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{bclogo}
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\paragraph{Exemples:} en reprenant les notations de l'exemple précédent, calculer
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\begin{multicols}{2}
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$\bar{z} = $
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$|z| = $
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\end{multicols}
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\afaire{}
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\paragraph{Remarque} en physique le nombre complexe $i$ est noté $j$. Ainsi les nombres complexes sont de la forme
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\[
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z = a + jb
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\]
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\end{document}
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