91 lines
2.8 KiB
TeX
91 lines
2.8 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\author{Benjamin Bertrand}
|
|
\title{Fonction Expronentielle - Cours}
|
|
\date{décembre 2020}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\section{Dérivée de la fonction exponentielle}
|
|
|
|
\begin{definition}[ Rappel: Fonctions puissances ]
|
|
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
|
Soit $a$ un nombre réel positif.
|
|
|
|
La fonction \textit{puissance} ou \textit{exponentielle} de base $a$ est la fonction
|
|
\[
|
|
f(x) = a^x
|
|
\]
|
|
Cette fonction est définie sur $\R$.
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=0.6, xscale=0.6]
|
|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
|
ymin=0,ymax=5,ystep=1]
|
|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
|
|
\tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
|
|
\tkzFct[domain = -5:5,color=blue,very thick]{1.5**x}
|
|
\tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]{0.5**x}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Parmi cette famille de fonction une seule vérifie la condition $f'(0) = 1$ c'est la fonction exponentielle.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
La \textbf{fonction exponentielle} notée $\exp$ est définie sur $\R$ par $\exp :x \mapsto e^x$ avec $e \approx 2.71$.
|
|
|
|
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Elle est continue et dérivable sur $\R$
|
|
\item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
|
|
\item $e^0 = 1$ et $e^1 = e$
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
|
|
{$-\infty$, $+\infty$}%
|
|
\tkzTabVar{-/, +/}%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.8]
|
|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
|
|
ymin=0,ymax=5,ystep=1]
|
|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
|
|
\tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
|
|
\tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{propriete}[Dérivée de $\exp$]
|
|
La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
|
|
\[
|
|
\forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
|
|
\]
|
|
|
|
\end{propriete}
|
|
|
|
Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
|
|
|
|
On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
|
|
|
|
\subsection*{Exemple de calcul}
|
|
|
|
Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
|
|
\afaire{}
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|