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TeX
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = e^x - 1$
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\item $f(x) = -2e^{x} + x$
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\item $f(x) = (x+1)e^{x}$
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\item $f(x) = \dfrac{e^x}{2}$
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\item $f(x) = -2xe^x$
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\item $f(x) = (x^2 - x )e^x$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = e^x + 1$ sur $I=\R$
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\item $g(x) = (x-2)e^x$ sur $I = \R$
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\item $h(x) = (2x^2+x-3)e^x$ sur $I = \R$
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\item $i(x) = \dfrac{(2x+1)e^{x}}{4-x}$ sur $I = \intOO{-\infty}{4} \cup \intOO{4}{+\infty}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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Pour chacune des fonctions suivantes,trouver le domaine de définition, calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $g(x) = e^x + 3$
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\item $f(x) = (3x-1)e^{x}$
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\item $h(x) = (x^2+3x-1)e^{x}$
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%\item $g(x) = \dfrac{2xe^{x}}{x-1}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
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\item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
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\item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$
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On fixe $\tau = 2$.
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\begin{enumerate}
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\item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
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\item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
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\item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
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\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
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\item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={2}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer et interpréter $c(0)$.
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\item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
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\item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
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\item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
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\item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs techniques de primitives}, step={3}, origin={}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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Pour chaque fonctions suivantes, identifier $u$, calculer $u'$ puis déterminer une primitive de la fonction.
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 5e^{5x}$
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\item $g(x) = -0.4e^{-0.4x+1}$
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\item $h(x) = 6e^{2x-2}$
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\item $i(x) = -10e^{5x}$
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\item $j(x) = e^{5x}$
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\item $k(x) = e^{-0.5x}$
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\item $l(x) = xe^{x^2}$
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\item $m(x) = xe^{2x^2 - 3}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs d'intégrales}, step={3}, origin={}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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\begin{multicols}{2}
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Soit $f(x) = e^{3x}$.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer une primitive de $f(x)$.
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\item En déduire la valeur de $\ds \int_0^{10} f(x) \; dx$
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\end{enumerate}
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\columnbreak
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Soit $g(x) = e^{-\frac{x}{2}}$.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer une primitive de $g(x)$.
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\item En déduire la valeur de $\ds \int_0^{10} e^{-\frac{x}{2}} \; dx$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Poteaux éléctriques}, step={3}, origin={Depuis 148p279 Indice}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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\begin{minipage}{0.45\textwidth}
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La hauteur (en $m$) par rapport au sol d'une ligne éléctrique est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\intFF{-50}{50}$ par
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\[
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f(x) = 11(e^{0.01x} + e^{-0.01x})
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\]
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\begin{enumerate}
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\item À quelle hauteur du poteau électrique le câble est-il accroché? On arrondira le résultat au dixième de mètre.
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\item Déterminer une primitive de $f(x)$.
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\item Calculer la quantité $\ds \int_{-50}^{50} f(x) \;dx$ et représenter cette quantité sur le schéma.
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\item En déduire l'air de la surface grisée.
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\item Quelle est la hauteur moyenne de la ligne électrique?
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.55\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.75, yscale=0.8]
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\tkzInit[xmin=-60,xmax=60,xstep=10,
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ymin=0,ymax=35,ystep=5]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\draw (0, 0) node [above right] {sol};
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\draw[very thick] (-5, 0) -- node [midway, right] {Poteau} (-5, 5);
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\draw[very thick] (5, 0) -- node [midway, left] {Poteau} (5, 5);
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\tkzFct[domain=-50:50,color=blue,very thick]%
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{11*(exp(0.01*\x) + exp(-0.01*\x))}
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\draw (1.5, 4) node [above right] {Ligne éléctrique};
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\tkzFct[domain=-50:50]{25}
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\tkzDrawAreafg[between= b and a, color = gray!50,domain = -50:50]
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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