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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Équation differentielle - Cours}
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\date{février 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Équation différentielle}
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\begin{definition}
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Une \textbf{équation différentielle} est une relation une variable ($x$, $t$...), une fonction ($f$) et les dérivées de cette fonction ($f'$, $f''$...).
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\textbf{Résoudre une équation différentielle} consiste à déterminer toutes les fonctions qui satisfont cette relation.
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\end{definition}
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\subsection*{Exemple}
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On souhaite résoudre l'équation différentielle $f'(x) = 3x^2$.
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Le cours sur la primitive nous permet résoudre cette équation. Une solution peut-être
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\[
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f(x) = x^3
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\]
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Mais il en existe d'autres
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\[
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f(x) = x^3 + 1 \qquad \qquad
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f(x) = x^3 + 2 \qquad \qquad
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f(x) = x^3 - 1 \qquad \qquad
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f(x) = x^3 - 4 \qquad \qquad
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\]
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On peut vérifier que cette fonction est bien solution de cette équation la dérivant:
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\afaire{}
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On peut noter toutes ces solutions sous la forme suivantes
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\[
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f(x) = x^3 + k \qquad \mbox{ avec } k \mbox{ un nombre réel}
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\]
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Cela signifie qu'il y a une infinité de solution à cette équation différentielle. Toutes les fonctions tracées dans le graphiques ci-dessous sont des solutions (et il en existe une infinité d'autres)
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.7, xscale=1.4]
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\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3}
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\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+1}
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\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+2}
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\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-1}
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\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-4}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{encadre}{ Notation }
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Il y a différente façons de noter les dérivées dans les équations différentielles:
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\begin{multicols}{3}
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Classique: $f'(x) = 3x^2 + k$
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Compacte: $y' = 3x^2 + k$
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Physicienne: $\dfrac{df}{dx} = 3x^2 + k$
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\end{multicols}
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~\\
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\end{encadre}
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\end{document}
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