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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Équation differentielle - Cours}
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\date{février 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Solutions d'équations différentielles}
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\begin{propriete}[équation $y' = a(x)$]
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Soit $a(x)$ une fonction réelle, on note $A(x)$ une primitive de $a(x)$.
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Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a(x)$ sont
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\[
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f(x) = A(x) + k \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
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\]
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemples}%
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Les solutions de $y' = 10x + 1$ sont
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\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}
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\begin{propriete}[équation $y' = ay$]
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Soit $a$ un nombre réel non nul
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Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a y$ sont
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\[
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f(x) = ke^{ax} \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
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\]
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemples}%
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Les solutions de $y' = 10y$ sont
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\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}
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\paragraph{Démonstration}%
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\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/d4233ed5-4e88-4be1-b470-58df67aefeb5}{Démonstration de la propriété}
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\begin{propriete}[équation $y' = ay + b$]
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Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls
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Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a y + b$ sont
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\[
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f(x) = ke^{ax} - \frac{b}{a} \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
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\]
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemples}%
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Les solutions de $y' = 10y + 5$ sont
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\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}
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\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/b6247c66-e834-46f9-adfa-af30cca4721}{Résoudre une équation du type $y' = ay + b$.}
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\end{document}
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