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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DS 7}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{18 mars 2021}
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\duree{60min}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, points=10]
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Dans cet exercices toutes les questions sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. Chaque réponse doit être expliquée et les calculs détaillés.
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\begin{enumerate}
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\item Soit $z = -1 - \sqrt{3}i$. Déterminer la forme exponentielle de $z$.
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\item Soit $z = 4e^{i\frac{\pi}{4}}$. Déterminer la forme algébrique de $z$.
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\item Soient $z_1 = 3e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z_2 = e^{i\frac{5\pi}{6}}$, calculer $z_1\times z_2$.
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\item Résoudre l'équation différentielle
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\[ \dfrac{df}{dx} = 2x \]
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\item Résoudre l'équation différentielle
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\[y' = 0.1y\]
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\item Soit $f(t) = K e^{-0.1t} + 1$. On sait que $f(10) = 100$. Déterminer la valeur de $K$.
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\item Soit $f(x) = (3x -1)e^{-0.1x}$. Tracer le tableau de signe de $f(t)$ pour $t$ allant de $-\infty$ à $+\infty$.
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\item Démontrer que
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\[ F(x) = (x^2 + x)e^{2x} + 100
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\]
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est une primitive de
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\[
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f(x) = (2x^2 + 4x + 1)e^{2x}
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\]
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Frottements}, points=10]
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En raison des frottements avec l'atmosphère résiduelle terrestre, les satellites en orbite basse perdent progressivement de l'altitude et finissent par se consumer dans les couches les plus denses de l'atmosphère. Cet évènement est appelé rentrée atmosphérique.
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Le temps, exprimé en jour, avant la rentrée atmosphérique dépend des caractéristiques du satellite et de l'altitude $h$, exprimée en kilomètre, de son orbite.
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Pour un satellite donné, ce temps est modélisé par une fonction $T$ de la variable $h$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$.
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\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante}.
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\textsf{\textbf{\textsc{partie a} – Étude d'un premier satellite}}
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\medskip
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On admet que la fonction $T$, associée à ce premier satellite, est une solution de l'équation différentielle $(E)$ suivante dans laquelle $y$ désigne une fonction de la variable $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty [$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.\[(E)\;:\;40y'-y = 0\]
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty [$.
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\item Déterminer la fonction $T$ solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition
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$T(800)=\np{2000}$.
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\end{enumerate}
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\pagebreak
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\textsf{\textbf{\textsc{partie b} – Étude d'un deuxième satellite}}
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\medskip
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Dans cette partie, on admet que la fonction $T$, associée à ce deuxième satellite, est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
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\[T(h) = K\times0,012\e^{0,025(h-150)}.\]
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Le nombre réel $K$ est appelé coefficient balistique du satellite.
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La fonction $T$ associée à ce deuxième satellite est représentée ci-après.
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\emph{Dans cette partie, on ne demande pas de justification. Les résultats seront donnés avec la précision permise par le graphique.}
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\medskip
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\begin{center}
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\def\h{.221*EXP(.025*(x-150))}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=1]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=600,xstep=50,
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ymin=0,ymax=5000,ystep=1000]
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%\tkzAxeX[label=$h$]
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\tkzAxeXY
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%\tkzAxeY[label=$T(h)$]
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\tkzGrid
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\tkzGrid[sub, subxstep=10, subystep=200]
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\tkzFct[domain=0:600,color=red,very thick]%
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{ 0.221*exp(0.025*(\x-150)) };
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item À quelle altitude minimale faut-il mettre en orbite ce deuxième satellite pour que le temps restant avant sa rentrée atmosphérique soit au moins égal à \np{1000} jours ?
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\item Déterminer une valeur approchée du coefficient balistique $K$ de ce deuxième satellite.
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textsf{\textbf{\textsc{partie c} – Étude d'un troisième satellite : Hubble}}
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\medskip
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Le satellite Hubble a un coefficient balistique $K$ égal à 11.
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La fonction $T$, associée à ce troisième satellite, est donc définie sur l'intervalle
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$[0~;~ +\infty [$ par :
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\[T(h)=0,132\e^{0,025(h-150)}.\]
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{4}
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\item L'orbite du satellite Hubble est située à l'altitude $h$ de 575 km. Calculer le temps $T(h)$ restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble. Arrondir au jour près.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer $T'(h)$, où $T'$ désigne la fonction dérivée de $T$.
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\item En déduire le sens de variations de la fonction $T$ sur $[0~;~ +\infty [$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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% \begin{exercise}[subtitle={Bras articulé}, points=10]
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% Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, le bras articulé d’un robot, fixé au point O, est représenté par deux segments [OA] et [AB], chacun de longueur 2 unités.
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% Deux exemples de position du bras articulé sont donnés ci-dessous à titre indicatif.
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% \begin{center}
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% \includegraphics[scale=0.25]{./fig/bras1}
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% \end{center}
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% \begin{enumerate}
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% \item
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% \begin{enumerate}
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% \item Sur le repère orthonormé \Ouv ci-dessous, placer le point A d'affixe $z_{\text A}= 2i$ puis construire l'extrémité B du bras articulé lorsque son affixe $z_{\text B}$ a pour argument $\dfrac{\pi}{4}$.
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%
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% \begin{center}
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% \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.6, yscale=0.6]
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% \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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% ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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% \tkzGrid
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% \draw (1, 0) node [below right] {1};
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% \draw (0, 1) node [above left] {$i$};
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% \draw [->, very thick] (-5, 0) -- (5, 0);
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% \draw [->, very thick] (0, -5) -- (0, 5);
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% %\tkzAxeXY
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% \foreach \x in {0,1,...,5} {
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% % dots at each point
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% \draw[black] (0, 0) circle(\x);
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% }
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% \end{tikzpicture}
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% \end{center}
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%
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% \item Donner l'affixe du point B sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
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% \end{enumerate}
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% \item L'extrémité B du bras peut-elle atteindre un objet qui se trouve à une distance de $4,5$
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% unités du point O?
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% \item Pour soulever un objet lourd dont le point d'accroche est le point C (voir figure ci-contre), il faut rigidifier l'articulation en A. On décide alors de bloquer l'angle $\left ( \vec{AO}~,~\vec{AB}\right )$ tel qu'une mesure de cet angle soit constamment égale à $\dfrac{\pi}{2}$ radians.
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% \hfill
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% \includegraphics[scale=0.25]{./fig/bras2}
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% \hfill{}
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% \begin{enumerate}
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% \item Déterminer la longueur OB.
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% \item Le point C a pour affixe $z_{\text C} = 2\sqrt{2}\e^{i\frac{\pi}{12}}$.
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% Justifier que l'extrémité B du bras articulé pourra atteindre le point d'accroche C de l'objet.
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% \item Lorsque le bras articulé saisit l'objet, les points B et C sont confondus.
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% Calculer la mesure de l'angle que forme alors le bras [OA] avec l'axe [O$x$).
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% \end{enumerate}
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% \end{enumerate}
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% \end{exercise}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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