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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Exponentielle complexe - Cours}
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\date{janvier 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Multiplication des nombres complexes}
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En exercice, nous avons conjecturé la propriété suivante
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\begin{propriete}
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Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes, quand on multiplie ces deux nombres,
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\begin{itemize}
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\item les modules se multiplient: $|z\times z'| = |z| \times |z'|$
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\item les modules s'ajoutent: $arg(z\times z') = arg(z) + arg(z')$
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\end{itemize}
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\end{propriete}
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\section{Forme trigonométrique}
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\begin{definition}
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La forme exponentielle d'une nombre complexe de module $r$ (avec $r>0$) et d'argument $\theta$ est
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\[
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z = re^{i\theta}
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\]
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\end{definition}
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\begin{propriete}
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Soit $z$ un nombre complexe, $r$ son module et $\theta$ son argument, alors
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\[
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z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) = re^{i\theta}
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\]
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\end{propriete}
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\subsection*{Exemple}
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Forme exponentielle de $z = \sqrt{3} - i$
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\afaire{}
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\begin{propriete}
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Soient $z = re^{i\theta}$ et $z' = r'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle. Alors
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\[
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z\times z' = re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr'e^{i(\theta+\theta')}
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\]
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\end{propriete}
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\subsection*{Exemple}
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Soient $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z' = \sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{2}}$. La forme exponentielle de $zz'$ est
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\[
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z\times z' =
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\]
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\afaire{}
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\end{document}
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