482 lines
20 KiB
TeX
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TeX
\collectexercises{banque}
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Vrai-Faux}, step={1}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
||
On interroge un échantillon de \np{1500} jeunes ayant entre 14 et 18ans pour savoir s'ils fument et si au moins l'un de leurs parents fume.
|
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||
Les résultats de l'enquête sont consignés dans le tableau suivant.
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\begin{center}
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||
\begin{tabular}{|>{\columncolor{highlightbg}}c|*{2}{p{4cm}|}|p{4cm}|}
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||
\hline
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||
\rowcolor{highlightbg}
|
||
& Fumeur & Non fumeur & Total\\
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\hline
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||
Au moins un parent fumeur & 300 & 300 & 600\\
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\hline
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Aucun parent fumeur & 200 & 700 & 900\\
|
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\hline
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||
Total &500 & \np{1000} & \np{1500}\\
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\hline
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||
\end{tabular}
|
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\end{center}
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||
On choisit au hasard un jeune parmi ceux interrogés. On note $A = \left\{ \mbox{Fumeur} \right\}$ et $B = \left\{ \mbox{Au moins un parent fumeur} \right\}$.
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||
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
|
||
\begin{enumerate}
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||
\item La probabilité qu'il soit fumeur est de plus de 30\%.
|
||
\item La probabilité qu'il soit fumeur et qu'aucun parent ne soit fumeur est de moins de 0.1.
|
||
\item La probabilité qu'au moins un de ses parents soit fumeur et qu'il ne le soit pas est de $\frac{1}{5}$.
|
||
\item La probabilité qu'il soit fumeur ou qu'un de ses parents le soit est de plus de 70\%.
|
||
\item Sachant qu'il est fumeur, la probabilité que ses parents le soit aussi est de 0.6.
|
||
\item Sachant qu'aucun de ses parents ne soit fumeur, la probabilité qu'il ne soit pas aussi est de 50\%.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
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||
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||
\begin{exercise}[subtitle={Moyen de paiement}, step={2}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
||
Le gérant d'une grande enseigne de distribution a commandé une étude statistique des moyens de paiement de ses clients. Les résultats ont été représenté dans l'arbre ci-dessous.
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||
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||
\bigskip
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||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
\node {.}
|
||
child {node {Moins de 20\euro}
|
||
child {node {Espèce}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.6}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child {node {Paiement sans contact}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.3}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child {node {Carte bleu}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.1}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.4}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child[missing] {}
|
||
child[missing] {}
|
||
child[missing] {}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {Plus de 20\euro}
|
||
child {node {Espèce}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.4}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child {node {Paiement sans contact}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.1}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child {node {Carte bleu}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.5}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {0.6}
|
||
} ;
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\bigskip
|
||
|
||
On sélectionne un client de cette enseigne au hasard. On note
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||
\[
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||
M = \left\{ \mbox{ Moins de 20\euro } \right\} \qquad E = \left\{ \mbox{ Espèce }\right\} \qquad B = \left\{ \mbox{ carte bleu }\right\}
|
||
\]
|
||
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item La probabilité qu'un client achète pour plus de 20\euro est de 0.6.
|
||
\item Si l'achat est de moins de 20\euro, il y a une probabilité de 10\% qu'il soit fait en avec une carte bleu.
|
||
\item Parmi les achats de plus de 20\euro, la probabilité qu'il ait été fait avec de l'espèce est de 0.4.
|
||
\item La probabilité qu'un achat soit de plus de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 90\%.
|
||
\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 0.04.
|
||
\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec de l'espère est de 1.
|
||
\item La probabilité ait été payé avec de l'espèce est de 72\%.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Neuf ou occasion?}, step={3}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
||
Un concessionnaire automobile vend chaque année 65\% de véhicules neufs. Une étude montre que parmi les acheteurs de véhicules neufs, 40\% adhèrent à un contrat d'assurance. Par ailleurs, 7\% des acheteurs qui ont acquis un véhicule d'occasion, ont adhéré à un contrat de maintenance.
|
||
|
||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||
On choisit un client au hasard parmi les clients de ce concessionnaire et on considère les évènements suivants:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $N = \left\{ \mbox{ Le client achète un véhicule neuf } \right\}$
|
||
\item $M = \left\{ \mbox{ Le client souscrit à un contrat de maintenance } \right\}$
|
||
\end{itemize}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Traduire les données de l'énoncé en terme de probabilité en utilisant les évènements $N$ et $M$.
|
||
\item À partir des données de l'énoncé, compléter l'arbre de probabilité traduisant la situation.
|
||
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
|
||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
\node {.}
|
||
child {node {$N$}
|
||
child {node {$M$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{M}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$\overline{N}$}
|
||
child {node {$M$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{M}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
} ;
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{minipage}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\setcounter{enumi}{2}
|
||
\item Traduire en français les probabilités suivantes, les calculer puis les placer sur l'arbre.
|
||
\begin{multicols}{3}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $P(\overline{N})$
|
||
\item $P_N(\overline{M})$
|
||
\item $P(M \cap N)$
|
||
\item $P(M \cap \overline{N})$
|
||
\item $P_{\overline{N}}(M)$
|
||
\item $P_{\overline{N}}(\overline{M})$
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{multicols}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Sécurité}, step={3}, origin={?annale?}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
||
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
|
||
|
||
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. Et on note $S$ l'événement "le voyageur fait sonner le portique" , $M$ l'événement " le voyageur porte un objet métallique"
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||
|
||
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique. Et on note que
|
||
|
||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
|
||
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.
|
||
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre illustrant cette situation.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
|
||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
\node {.}
|
||
child {node {$M$}
|
||
child {node {$S$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{S}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$\overline{M}$}
|
||
child {node {$S$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{S}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
} ;
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{minipage}
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Voyage}, step={4}, origin={STMG - Pondichéry mai 2018 - Ex2}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
||
Une agence de voyage a effectué un sondage auprès de ses clients pendant la période estivale.
|
||
|
||
Le sondage est effectué sur l’ensemble des clients. Ce sondage montre que 38\,\% des clients voyagent en France, que 83\,\% des clients voyageant en France sont satisfaits et que 78\,\% des clients voyageant à l’étranger sont satisfaits.
|
||
|
||
\smallskip
|
||
\noindent
|
||
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||
On interroge un client au hasard. On considère les évènements suivants :
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item[\textbullet] $F$ : \og le client a voyagé en France \fg;
|
||
\item[\textbullet] $E$ : \og le client a voyagé à l’étranger \fg ;
|
||
\item[\textbullet] $S$ : \og le client est satisfait du voyage \fg.
|
||
\end{itemize}
|
||
\medskip
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-contre.
|
||
\item Définir par une phrase l’évènement $E\cap S$ et calculer sa probabilité.
|
||
\item Montrer que $P(S)=0,799$ .
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
|
||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
\node {.}
|
||
child {node {$F$}
|
||
child {node {$S$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{S}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$E$}
|
||
child {node {$S$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{S}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
} ;
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{minipage}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\setcounter{enumi}{3}
|
||
\item Sachant que le client est satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait voyagé à l’étranger ?
|
||
\emph{On arrondira pour cette question le résultat au millième.}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Numéro INE}, step={4}, origin={STMG - Métropole Juin 2018 - Ex2}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
||
Parmi les étudiants de l'enseignement supérieur de France métropolitaine et des DOM, 26\,\% sont
|
||
inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France. Parmi ces étudiants inscrits dans un établissement
|
||
d'\^{I}le-de-France, 51\,\% le sont dans une université.
|
||
|
||
Parmi les étudiants inscrits en province ou dans les DOM, 62\,\% sont inscrits dans une université.
|
||
|
||
\emph{Source : Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l'Innovation.}
|
||
|
||
\noindent
|
||
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||
Dans la base recensant l'INE (Identifiant National Étudiant) de chaque étudiant, on choisit de façon
|
||
équiprobable un identifiant.
|
||
|
||
On considère les évènements suivants :
|
||
|
||
\setlength\parindent{9mm}
|
||
\begin{description}
|
||
\item[] $A $: \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'\^{I}le-de-France \fg
|
||
\item[] $B$ : \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans une université\fg.
|
||
\end{description}
|
||
\setlength\parindent{0mm}
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Compléter l'arbre de probabilité représentant la situation de l'énoncé.
|
||
\item Traduire l'évènement $A \cap \overline{B}$ par une phrase et calculer sa probabilité.
|
||
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ est égale à \np{0,5914}.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
|
||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
\node {.}
|
||
child {node {$A$}
|
||
child {node {$B$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{B}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$\overline{A}$}
|
||
child {node {$B$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{B}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
} ;
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{minipage}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\setcounter{enumi}{3}
|
||
\item Un responsable du ministère déclare : \og Parmi les étudiants inscrits à l'université, moins d'un sur quatre et plus d'un sur cinq sont inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France\fg. Que peut-on penser de cette affirmation ?
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Hand Spinner}, step={4}, origin={STMG - Antilles Sept 2018 - Ex1}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
||
L'entreprise \emph{Gadgets En Stock} vend des \emph{hand spinners}. Elle les achète auprès de trois fournisseurs étrangers Advanceplay, Betterspin et Coolgame. Advanceplay et Betterspin fournissent chacun 30\,\% des hand spinners de \emph{Gadgets En Stock}. Coolgame fournit les 40\,\% restant.
|
||
|
||
Les données de ces trois entreprises indiquent que :
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item 1\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Advanceplay sont défectueux ;
|
||
\item 4\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Betterspin sont défectueux ;
|
||
\item 2\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Coolgame sont défectueux.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
On choisit de façon équiprobable un hand spinner dans le stock de l'entreprise \emph{Gadgets En Stock} et
|
||
on définit les évènements suivants :
|
||
|
||
$A$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Advanceplay \fg
|
||
$B$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Betterspin \fg
|
||
|
||
$C$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Coolgame \fg
|
||
$D$ : \og le \emph{hand spinner} est défectueux\fg
|
||
|
||
\noindent
|
||
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
|
||
\item Calculer la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux.
|
||
\item Montrer que la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi soit défectueux est égale à $0,023$.
|
||
\item On achète un \emph{hand spinner} chez \emph{Gadgets En Stock}. On constate que celui-ci est défectueux.
|
||
|
||
Quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur Coolgame ?
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{minipage}
|
||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
\node {.}
|
||
child {node {$A$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$B$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$C$}
|
||
child {node {$D$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{D}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
} ;
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{minipage}
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{exercise}[subtitle={Sécurité}, step={5}, origin={STMG - Antilles Juin 2018 - Ex2}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
||
Les batteries sont fabriquées dans deux ateliers, Arobase et Bestphone ; 55\,\% d'entre elles sont fabriquées dans l'atelier Arobase et le reste dans l'atelier Bestphone.
|
||
|
||
À l'issue de la fabrication, certaines batteries sont contrôlées.
|
||
|
||
Ces contrôles permettent d'affirmer que:
|
||
|
||
\setlength\parindent{9mm}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Arobase, 94\,\% ne présentent aucun défaut;
|
||
\item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Bestphone, 4\,\% présentent au moins un défaut.
|
||
\end{itemize}
|
||
\setlength\parindent{0mm}
|
||
|
||
Une batterie est prélevée de façon équiprobable dans le stock constitué des batteries produites par les deux ateliers.
|
||
|
||
On considère les évènements suivants :
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\hfill
|
||
$A$ : \og la batterie provient de l'atelier Arobase \fg\hfill
|
||
$B$ : \og la batterie provient de l'atelier Bestphone\fg \hfill
|
||
\\
|
||
$D$ : \og la batterie présente au moins un défaut\fg
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\medskip
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Compléter l'arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.
|
||
\item Calculer la probabilité que la batterie provienne de l'atelier Bestphone et présente au moins un défaut.
|
||
\item Montrer que la probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
|
||
\item Sachant que la batterie choisie présente au moins un défaut, peut-on affirmer qu'il y a plus de deux chances sur trois que cette batterie provienne de l'atelier Arobase ?
|
||
|
||
Justifier la réponse.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||
\node {.}
|
||
child {node {$A$}
|
||
child {node {$B$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{B}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child[missing] {}
|
||
child { node {$\overline{A}$}
|
||
child {node {$B$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
|
||
child {node {$\overline{B}$}
|
||
edge from parent
|
||
node[above] {...}
|
||
}
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edge from parent
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node[above] {...}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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